Pythagorean theorem

수학에서 피타고라스 정리, 즉 피타고라스의 정리는 직삼각형의 세 변 중 유클리드 기하학에서 근본적인 관계다. It states that the area of the square whose side is the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the areas of the squares on the other two sides. 하이포텐유스(오른쪽 각도의 반대쪽)인 정사각형의 면적이 다른 두 면의 정사각형 면적의 합과 동일하다고 명시되어 있다. This theorem can be written as an equation relating the lengths of the sides a, b and c, often called the Pythagorean equation:[1] 이 정리는 종종 피타고라스 방정식이라고 불리는 a, b, c 면의 길이에 관련된 방정식으로 쓰여질 수 있다.[1] a 2 + b 2 = c 2 , {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}

where c represents the length of the hypotenuse and a and b the lengths of the triangle's other two sides.여기서 c는 하이포텐유의 길이를 나타내고 a와 b는 삼각형의 다른 두 변의 길이를 나타낸다. The theorem, whose history is the subject of much debate, is named for the Greek thinker Pythagoras, born around 570 BC. 역사가 많은 논쟁의 대상이 되는 이 정리는 기원전 570년경에 태어난 그리스 사상가 피타고라스의 이름을 따서 명명되었다.

The theorem has been proven numerous times by many different methods—possibly the most for any mathematical theorem.그 정리는 많은 다른 방법들에 의해 수없이 증명되었다. 아마도 어떤 수학적 정리에 있어서도 가장 많을 것이다. The proofs are diverse, including both geometric proofs and algebraic proofs, with some dating back thousands of years. 그 증명들은 기하학적 증명과 대수학적 증명 모두를 포함하여 다양하며, 어떤 것들은 수천 년 전으로 거슬러 올라간다.

The theorem can be generalized in various ways: to higher-dimensional spaces, to spaces that are not Euclidean, to objects that are not right triangles, and to objects that are not triangles at all but n-dimensional solids.정리는 다양한 방법으로 일반화될 수 있다: 고차원 공간, 유클리드 공간이 아닌 공간, 직삼각형이 아닌 물체, n차원 고형물이 아닌 물체. The Pythagorean theorem has attracted interest outside mathematics as a symbol of mathematical abstruseness, mystique, or intellectual power; popular references in literature, plays, musicals, songs, stamps, and cartoons abound. 피타고라스의 정리는 수학적인 난독성, 신비감 또는 지적 능력의 상징으로서 수학 밖의 관심을 끌어왔다; 문학, 연극, 뮤지컬, 노래, 우표, 만화에서 인기 있는 언급들이 풍부하다.

Contents내용물

Rearrangement proof재배열 증명

The rearrangement proof (click to view animation)재배열 증명(애니메이션을 보려면 클릭)

The two large squares shown in the figure each contain four identical triangles, and the only difference between the two large squares is that the triangles are arranged differently.그림에 표시된 두 개의 큰 정사각형은 각각 네 개의 동일한 삼각형을 포함하고 있으며, 두 개의 큰 정사각형의 유일한 차이점은 삼각형이 다르게 배열되어 있다는 것이다. Therefore, the white space within each of the two large squares must have equal area. 따라서 두 개의 큰 정사각형 안에 있는 흰색 공간은 동일한 면적을 가져야 한다. Equating the area of the white space yields the Pythagorean theorem, Q.E.D.[2] 하얀 공간의 영역을 동일시하면 피타고라스 정리인 Q.E.D.[2]가 나온다.

Heath gives this proof in his commentary on Proposition I.47 in Euclid's Elements, and mentions the proposals of Bretschneider and Hankel that Pythagoras may have known this proof.히스는 유클리드 원소의 발의안 I.47에 대한 논평에서 이 증거를 제시하며, 피타고라스가 이 증거를 알고 있었을지도 모른다는 브레츠크나이더와 행클의 제안을 언급한다. Heath himself favors a different proposal for a Pythagorean proof, but acknowledges from the outset of his discussion "that the Greek literature which we possess belonging to the first five centuries after Pythagoras contains no statement specifying this or any other particular great geometric discovery to him."[3] 히스 자신은 피타고라스 증거에 대한 다른 제안을 선호하지만, "피타고라스 이후 처음 5세기에 속하는 그리스 문학은 그에게 이것이나 다른 특별한 기하학적 발견을 명시하는 어떤 진술도 포함하고 있지 않다"[3]는 것을 그의 논의의 시작부터 인정한다. Recent scholarship has cast increasing doubt on any sort of role for Pythagoras as a creator of mathematics, although debate about this continues.[4] 최근의 장학금은 수학의 창시자로서 피타고라스의 어떤 종류의 역할에도 의문을 제기하고 있다. 비록 이것에 대한 논쟁이 계속되고 있지만 말이다.[4]

Other forms of the theorem다른 형태의 정리

If c denotes the length of the hypotenuse and a and b denote the lengths of the other two sides, the Pythagorean theorem can be expressed as the Pythagorean equation: c가 하이포테뉴스의 길이를 나타내고 a와 b가 다른 양쪽의 길이를 나타낸다면, 피타고라스 정리는 피타고라스 방정식으로 표현될 수 있다.

a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

If the lengths of both a and b are known, then c can be calculated as a와 b의 길이가 모두 알려진 경우 c는 다음과 같이 계산할 수 있다.

c = a 2 + b 2 . {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}

If the length of the hypotenuse c and of one side (a or b) are known, then the length of the other side can be calculated as 하이포텐use c의 길이와 한 쪽(a 또는 b)의 길이를 알면 다른 쪽의 길이를 다음과 같이 계산할 수 있다.

a = c 2 − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}

or 또는

b = c 2 − a 2 . {\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.}

The Pythagorean equation relates the sides of a right triangle in a simple way, so that if the lengths of any two sides are known the length of the third side can be found.피타고라스 방정식은 직각 삼각형의 변을 간단한 방법으로 연관시켜, 어느 한 변의 길이가 알려진다면 제3 변의 길이를 찾을 수 있다. Another corollary of the theorem is that in any right triangle, the hypotenuse is greater than any one of the other sides, but less than their sum. 정리의 또 다른 요점은 어떤 직각 삼각형에서 저선형은 다른 면들 중 어느 한 면보다 크지만 그 합보다 적다는 것이다.

A generalization of this theorem is the law of cosines, which allows the computation of the length of any side of any triangle, given the lengths of the other two sides and the angle between them.이 정리의 일반화는 코사인 법칙으로, 다른 두 변의 길이와 그 사이의 각도를 고려하여 어떤 삼각형의 어떤 면의 길이도 계산할 수 있다. If the angle between the other sides is a right angle, the law of cosines reduces to the Pythagorean equation. 반대편 사이의 각도가 직각이라면 코사인의 법칙은 피타고라스 방정식으로 줄어든다.

Other proofs of the theorem기타 정리증거

This theorem may have more known proofs than any other (the law of quadratic reciprocity being another contender for that distinction); the book The Pythagorean Proposition contains 370 proofs.[5]이 정리는 다른 어떤 것보다도 더 잘 알려진 증거들을 가지고 있을지도 모른다; 책 피타고라스 제안은 370개의 증거를 포함하고 있다.[5]

Proof using similar triangles유사한 삼각형을 사용한 증거

Proof using similar triangles유사한 삼각형을 사용한 증거

This proof is based on the proportionality of the sides of two similar triangles, that is, upon the fact that the ratio of any two corresponding sides of similar triangles is the same regardless of the size of the triangles.이 증거는 두 개의 유사한 삼각형, 즉 비슷한 삼각형의 어떤 두 변의 비율이 삼각형의 크기와 상관없이 동일하다는 사실에 기초한다.

Let ABC represent a right triangle, with the right angle located at C, as shown on the figure.ABC는 그림에서와 같이 C에 위치한 직각 삼각형을 나타내도록 한다. Draw the altitude from point C, and call H its intersection with the side AB. C 지점에서 고도를 그리고 H를 AB 측과의 교차점이라고 부른다. Point H divides the length of the hypotenuse c into parts d and e. 점 H는 하이포텐use c의 길이를 부분 d와 e로 나눈다. The new triangle ACH is similar to triangle ABC, because they both have a right angle (by definition of the altitude), and they share the angle at A, meaning that the third angle will be the same in both triangles as well, marked as θ in the figure. 새로운 삼각형 ACH는 둘 다 직각(고도의 정의에 의해)을 가지며 A에서 각도를 공유하기 때문에 삼각형 ABC와 유사하며, 이는 그림에서 θ으로 표시된 두 삼각형에서도 세 번째 각도가 동일하다는 것을 의미한다. By a similar reasoning, the triangle CBH is also similar to ABC. 비슷한 추리에 의해, 삼각형 CBH도 ABC와 비슷하다. The proof of similarity of the triangles requires the triangle postulate: 삼각형의 유사성 증명은 삼각형을 가정해야 한다. The sum of the angles in a triangle is two right angles, and is equivalent to the parallel postulate. 삼각형 안의 각도의 합은 두 개의 직각이며, 평행한 상각과 같다. Similarity of the triangles leads to the equality of ratios of corresponding sides: 삼각형의 유사성은 해당 변의 비율의 동일성으로 이어진다.

B C A B = B H B C and A C A B = A H A C . {\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}

The first result equates the cosines of the angles θ, whereas the second result equates their sines.첫 번째 결과는 각 θ의 코사인을 동일시하는 반면, 두 번째 결과는 그들의 시네를 동일시한다.

These ratios can be written as 이 비율은 다음과 같이 기록할 수 있다.

B C 2 = A B × B H and A C 2 = A B × A H . {\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}

Summing these two equalities results in 이 두 동등성을 합하면

B C 2 + A C 2 = A B × B H + A B × A H = A B × ( A H + B H ) = A B 2 , {\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}

which, after simplification, expresses the Pythagorean theorem: 단순화 후 피타고라스의 정리를 표현한다.

B C 2 + A C 2 = A B 2 . {\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\ .}

The role of this proof in history is the subject of much speculation.역사에서 이 증거의 역할은 많은 추측의 대상이다. The underlying question is why Euclid did not use this proof, but invented another. 근본적인 문제는 유클리드가 왜 이 증거를 사용하지 않고 또 다른 증거를 발명했는가 하는 것이다. One conjecture is that the proof by similar triangles involved a theory of proportions, a topic not discussed until later in the Elements, and that the theory of proportions needed further development at that time.[6][7] 한 가지 추측에 따르면 유사한 삼각형에 의한 증명에는 비율 이론이 포함되어 있는데, 이 주제는 원소들에서 나중에 논의될 때까지 논의되지 않았고 비율 이론은 그 당시에 더 많은 발전이 필요했다는 것이다.[6][7]

Euclid's proof유클리드 증거

Proof in Euclid's Elements유클리드 원소의 증거

In outline, here is how the proof in Euclid's Elements proceeds.요컨대, 유클리드 원소에서의 증명이 어떻게 진행되는지 알 수 있다. The large square is divided into a left and right rectangle. 큰 사각형은 좌우 직사각형으로 나뉜다. A triangle is constructed that has half the area of the left rectangle. 삼각형은 왼쪽 직사각형의 반 면적을 가진 삼각형이다. Then another triangle is constructed that has half the area of the square on the left-most side. 그리고 또 다른 삼각형은 정사각형의 반 면적을 가장 왼쪽 면에 가진 삼각형이 만들어진다. These two triangles are shown to be congruent, proving this square has the same area as the left rectangle. 이 두 삼각형은 이 사각형이 왼쪽 직사각형과 동일한 면적을 가지고 있다는 것을 증명하는 합치된 것으로 보인다. This argument is followed by a similar version for the right rectangle and the remaining square. 이 인수는 오른쪽 사각형과 나머지 사각형에 대해 유사한 버전이 뒤따른다. Putting the two rectangles together to reform the square on the hypotenuse, its area is the same as the sum of the area of the other two squares. 두 직사각형을 합쳐서 하이포테뉴스의 광장을 개혁하면 그 면적이 다른 두 정사각형의 면적의 합과 같다. The details follow. 자세한 내용은 다음과 같다.

Let A, B, C be the vertices of a right triangle, with a right angle at A.A, B, C를 직각 삼각형의 정점이 되게 하고 A에서 직각으로 한다. Drop a perpendicular from A to the side opposite the hypotenuse in the square on the hypotenuse. A에서 하이포텐use의 정사각형에서 하이포텐use 반대쪽으로 수직으로 떨어뜨린다. That line divides the square on the hypotenuse into two rectangles, each having the same area as one of the two squares on the legs. 이 선은 저선형의 사각형을 두 개의 직사각형으로 나누는데, 각 직사각형은 다리에 있는 두 개의 사각형 중 하나와 동일한 영역을 가지고 있다.

For the formal proof, we require four elementary lemmata: 공식적인 증빙을 위해 우리는 4개의 기본적인 레마타가 필요하다.

If two triangles have two sides of the one equal to two sides of the other, each to each, and the angles included by those sides equal, then the triangles are congruent (side-angle-side).두 삼각형이 한 삼각형의 두 변을 각각 다른 삼각형의 두 변과 같고, 그 변이 포함하는 각도가 같다면, 삼각형은 합치(측각측면)이다.
The area of a triangle is half the area of any parallelogram on the same base and having the same altitude.삼각형의 넓이는 같은 베이스에 있는 어떤 평행사변형의 절반의 면적이며 같은 고도를 가지고 있다.
The area of a rectangle is equal to the product of two adjacent sides.직사각형의 면적은 인접한 두 변의 제품과 동일하다.
The area of a square is equal to the product of two of its sides (follows from 3).정사각형의 면적은 그 옆면 두 개의 제품과 동일하다(3부터 이어짐).

Next, each top square is related to a triangle congruent with another triangle related in turn to one of two rectangles making up the lower square.[8]다음으로 각 상단 사각형은 하단 사각형을 구성하는 두 개의 사각형 중 하나에 차례로 관련된 다른 삼각형과 결합된 삼각형과 관련된다.[8]

Illustration including the new lines새 라인을 포함한 그림

Showing the two congruent triangles of half the area of rectangle BDLK and square BAGF사각형 BDLK 및 사각형 BAGF 면적의 두 개의 합치 삼각형 표시

The proof is as follows: 그 증거는 다음과 같다.

Let ACB be a right-angled triangle with right angle CAB.ACB를 직각 CAB의 직각 삼각형이 되도록 한다.
On each of the sides BC, AB, and CA, squares are drawn, CBDE, BAGF, and ACIH, in that order.BC, AB, CA의 각 측면에는 그 순서대로 정사각형, CBDE, BAGF, ACIH가 그려진다. The construction of squares requires the immediately preceding theorems in Euclid, and depends upon the parallel postulate.[9] 정사각형 구조는 유클리드에서의 바로 앞의 이론들을 필요로 하며, 평행한 가정들에 의존한다.[9]
From A, draw a line parallel to BD and CE.A에서 BD와 CE에 평행한 선을 그린다. It will perpendicularly intersect BC and DE at K and L, respectively. 그것은 각각 K와 L에서 BC와 DE를 수직으로 교차시킬 것이다.
Join CF and AD, to form the triangles BCF and BDA.CF와 AD에 가입하여 BCF와 BDA 삼각형을 형성하십시오.
Angles CAB and BAG are both right angles; therefore C, A, and G are collinear.각도 CAB와 BAG는 모두 직각이다. 따라서 C, A, G는 일직선이다. Similarly for B, A, and H. B, A, H도 이와 유사하다.
Angles CBD and FBA are both right angles; therefore angle ABD equals angle FBC, since both are the sum of a right angle and angle ABC.각도 CBD와 FBA는 모두 직각이다. 따라서 각도 ABBC는 직각과 각도 ABC의 합이기 때문에 각도 ABD와 같다.
Since AB is equal to FB and BD is equal to BC, triangle ABD must be congruent to triangle FBC.AB는 FB와 같고 BD는 BC와 같기 때문에 삼각형 ABD는 삼각형 FBC와 일치해야 한다.
Since A-K-L is a straight line, parallel to BD, then rectangle BDLK has twice the area of triangle ABD because they share the base BD and have the same altitude BK, i.e., a line normal to their common base, connecting the parallel lines BD and AL. (lemma 2)A-K-L은 직선이고, BD에 평행하기 때문에 직사각형 BDLK는 기본 BD를 공유하기 때문에 삼각형 ABD 면적의 두 배를 가지며, 즉, 평행선 BD와 AL을 연결하는 공통 베이스와 동일한 고도 BK를 가지고 있다(레마 2).
Since C is collinear with A and G, square BAGF must be twice in area to triangle FBC.C는 A와 G와 결합되기 때문에 사각 BAGF는 삼각형 FBC의 면적이 두 번이어야 한다.
Therefore, rectangle BDLK must have the same area as square BAGF = AB2.따라서 사각형 BDLK는 사각형 BAGF = AB와2 동일한 면적을 가져야 한다.
Similarly, it can be shown that rectangle CKLE must have the same area as square ACIH = AC2.마찬가지로 직사각형 CKLE는 직사각형 ACIH = AC와2 동일한 면적을 가져야 한다는 것을 알 수 있다.
Adding these two results, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC이2 두 결과를 더하면2 AB + AC = BD × BK + KL × KC
Since BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BCBD = KL, BD × BK + KC = BD(BK + KC) = BD × BC이기 때문에
Therefore, AB2 + AC2 = BC2, since CBDE is a square.따라서 CBDE는 정사각형이기 때문에 AB2 + AC2 = BC2.

This proof, which appears in Euclid's Elements as that of Proposition 47 in Book 1,[10] demonstrates that the area of the square on the hypotenuse is the sum of the areas of the other two squares.[11]제1권 제47호의 발의안 제47호의 것과 같이 유클리드 원소에 나타나는 이 증거는 하이포텐유에 있는 광장의 면적이 다른 두 칸의 면적의 합이라는 것을 증명한다.[10][11] This is quite distinct from the proof by similarity of triangles, which is conjectured to be the proof that Pythagoras used.[7][12] 이것은 피타고라스가 사용한 증거로 추측되는 삼각형의 유사성에 의한 증거와는 상당히 구별된다.[7][12]

Proofs by dissection and rearrangement해부 및 재배치에 의한 증명

We have already discussed the Pythagorean proof, which was a proof by rearrangement.우리는 이미 재정비에 의한 증거였던 피타고라스 증거를 논의하였다. The same idea is conveyed by the leftmost animation below, which consists of a large square, side a + b, containing four identical right triangles. 같은 생각이 아래 가장 왼쪽의 애니메이션에 의해 전달되는데, 이 애니메이션은 네 개의 동일한 오른쪽 삼각형을 포함하는 큰 사각형, 측면 a + b로 구성되어 있다. The triangles are shown in two arrangements, the first of which leaves two squares a2 and b2 uncovered, the second of which leaves square c2 uncovered. 삼각형은 두 가지 배열로 표시되는데, 첫 번째 배열은 a와2 b의2 사각형 두 개를, 두 번째 배열은 c를2 덮은 채로 남겨둔다. The area encompassed by the outer square never changes, and the area of the four triangles is the same at the beginning and the end, so the black square areas must be equal, therefore a2 + b2 = c2. 외부 사각형에 포함되는 면적은 절대 변하지 않으며, 4개의 삼각형의 면적이 처음과 끝에서 같기 때문에 검은색 사각형의 면적이 같아야 하므로, 따라서22 + b = c이다2.

A second proof by rearrangement is given by the middle animation.재배치에 의한 두 번째 증거는 중간 애니메이션에 의해 주어진다. A large square is formed with area c2, from four identical right triangles with sides a, b and c, fitted around a small central square. 큰 사각형은 작은2 중앙 사각형 주위에 a, b, c면이 있는 네 개의 동일한 오른쪽 삼각형에서 c 영역으로 형성된다. Then two rectangles are formed with sides a and b by moving the triangles. 그리고 나서 두 개의 직사각형은 삼각형을 움직여 a와 b 면을 형성한다. Combining the smaller square with these rectangles produces two squares of areas a2 and b2, which must have the same area as the initial large square.[13] 이 직사각형과 작은 사각형을 결합하면 a와22 b의 두 개의 사각형이 생성되는데, 이 사각형은 처음의 큰 사각형과 동일한 면적을 가져야 한다.[13]

The third, rightmost image also gives a proof.세번째, 가장 오른쪽의 이미지는 또한 증거를 준다. The upper two squares are divided as shown by the blue and green shading, into pieces that when rearranged can be made to fit in the lower square on the hypotenuse – or conversely the large square can be divided as shown into pieces that fill the other two. 위쪽 두 칸은 파란색과 녹색 음영으로 구분되며, 다시 정렬할 때 하이포테뉴스의 아래쪽 칸에 맞도록 만들 수 있고, 반대로 큰 칸은 다른 두 칸을 채우는 칸으로 나눌 수 있다. This way of cutting one figure into pieces and rearranging them to get another figure is called dissection. 하나의 형상을 조각조각 자르고 다른 형상을 얻기 위해 재배열하는 이런 방식을 해부라고 한다. This shows the area of the large square equals that of the two smaller ones.[14] 이것은 큰 사각형의 면적이 작은 두 개의 면적에 해당한다는 것을 보여준다.[14]

Animation showing proof by rearrangement of four identical right triangles동일 직각 삼각형 네 개를 재배열하여 증거를 보여주는 애니메이션

Animation showing another proof by rearrangement재배열로 다른 증거를 보여주는 애니메이션

Proof using an elaborate rearrangement정교한 재배열을 사용한 증거

Einstein's proof by dissection without rearrangement재배열 없이 해부하여 아인슈타인의 증명

Right triangle on the hypotenuse dissected into two similar right triangles on the legs, according to Einstein's proof아인슈타인의 증거에 따르면, 하이포텐유스의 오른쪽 삼각형은 다리의 두 개의 비슷한 오른쪽 삼각형으로 해부되었다.

Albert Einstein gave a proof by dissection in which the pieces need not get moved.[15]알버트 아인슈타인은 조각들을 움직일 필요가 없는 해부법으로 증거를 제시했다.[15] Instead of using a square on the hypotenuse and two squares on the legs, one can use any other shape that includes the hypotenuse, and two similar shapes that each include one of two legs instead of the hypotenuse (see Similar figures on the three sides). 하이포텐유에 사각형을 사용하고 다리에 사각형을 두 개 사용하는 대신, 하이포텐유에 해당하는 다른 모양과 각각 하이포텐유대신에 두 개의 다리 중 하나를 포함하는 비슷한 모양 두 개를 사용할 수 있다(삼면의 유사한 그림 참조). In Einstein's proof, the shape that includes the hypotenuse is the right triangle itself. 아인슈타인의 증명에서, 하이포테누스를 포함하는 모양은 오른쪽 삼각형 그 자체다. The dissection consists of dropping a perpendicular from the vertex of the right angle of the triangle to the hypotenuse, thus splitting the whole triangle into two parts. 해부는 삼각형의 직각 정점에서 하이포텐use까지 수직으로 떨어뜨려 전체 삼각형을 두 부분으로 나누는 것으로 구성된다. Those two parts have the same shape as the original right triangle, and have the legs of the original triangle as their hypotenuses, and the sum of their areas is that of the original triangle. 그 두 부분은 원래 오른쪽 삼각형과 모양이 같고, 원래 삼각형의 다리가 하이포테누스와 같으며, 그 부분의 합은 원래 삼각형의 것이다. Because the ratio of the area of a right triangle to the square of its hypotenuse is the same for similar triangles, the relationship between the areas of the three triangles holds for the squares of the sides of the large triangle as well. 하이포텐use의 정사각형에 대한 직각 삼각형의 면적 비율은 유사 삼각형의 경우 같기 때문에, 큰 삼각형의 측면의 정사각형에도 세 삼각형의 면적 사이의 관계가 유지된다.

Algebraic proofs대수적 교정쇄

Diagram of the two algebraic proofs두 대수적 증거의 도표

The theorem can be proved algebraically using four copies of a right triangle with sides a, b and c, arranged inside a square with side c as in the top half of the diagram.[16]정리는 도표의 위쪽 절반과 같이 측면 c가 있는 사각형 안에 배열된, 측면 a, b, c가 있는 직각 삼각형의 4개를 사용하여 대수적으로 증명할 수 있다.[16] The triangles are similar with area 1 2 a b {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}

, while the small square has side b − a and area (b − a)2. 삼각형은 면적 1 2 a b {\displaystyle {\tfrac{1}{2}}ab}와 유사한 반면,

작은 사각형은 측면 b - a 및 면적(b - a)이 있다.2 The area of the large square is therefore 그러므로 대광장의 면적은 다음과 같다.

( b − a ) 2 + 4 a b 2 = ( b − a ) 2 + 2 a b = b 2 − 2 a b + a 2 + 2 a b = a 2 + b 2 . {\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}

But this is a square with side c and area c2, so 그런데 이건 옆면 c와 면 c가2 있는 사각형이니까.

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}

A similar proof uses four copies of the same triangle arranged symmetrically around a square with side c, as shown in the lower part of the diagram.[17]유사한 증명은 도표의 하단에 나타낸 것과 같이 측면 c가 있는 정사각형 주위에 대칭적으로 배열된 동일한 삼각형의 4개의 복사본을 사용한다.[17] This results in a larger square, with side a + b and area (a + b)2. 이것은 측면 a + b와 면적(a + b)으로 더 큰 정사각형을 만든다.2 The four triangles and the square side c must have the same area as the larger square, 네 개의 삼각형과 네모난 면 c는 더 큰 사각형과 같은 면적을 가져야 한다.

( b + a ) 2 = c 2 + 4 a b 2 = c 2 + 2 a b , {\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}

giving 부여

c 2 = ( b + a ) 2 − 2 a b = b 2 + 2 a b + a 2 − 2 a b = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}

Diagram of Garfield's proof가필드의 증거 다이어그램

A related proof was published by future U.S. President James A.관련 증거가 미래의 미국 대통령 제임스 A에 의해 발표되었다. Garfield (then a U.S. Representative) (see diagram).[18][19][20] 가필드(당시 미국 대표) (도표 참조).[18][19][20] Instead of a square it uses a trapezoid, which can be constructed from the square in the second of the above proofs by bisecting along a diagonal of the inner square, to give the trapezoid as shown in the diagram. 사각형 대신 내부 사각형의 대각선을 따라 이등분하여 위의 교정판 중 두 번째 사각형의 사각형에서 만들 수 있는 사다리꼴을 사용하여 다이어그램에 표시된 것처럼 사다리꼴을 부여한다. The area of the trapezoid can be calculated to be half the area of the square, that is 사다리꼴의 면적은 정사각형 면적의 절반, 즉 정사각형의 면적의 절반으로 계산할 수 있다.

1 2 ( b + a ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.}

The inner square is similarly halved, and there are only two triangles so the proof proceeds as above except for a factor of 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}

, which is removed by multiplying by two to give the result.내부 사각형은 비슷하게 반으로 나뉘며, 두 개의 삼각형만 있으므로, 2를 곱하여

제거하여 결과를 주는 1 2 {\displaystyle {\frac{1}{2}}의 인자를 제외하고 증명은 위와 같이 진행된다.

Proof using differentials디퍼렌셜을 사용한 증거

One can arrive at the Pythagorean theorem by studying how changes in a side produce a change in the hypotenuse and employing calculus.[21][22][23]측면의 변화가 어떻게 저선용에 변화를 일으키는지 연구하고 미적분을 채용함으로써 피타고라스적 정리에 도달할 수 있다.[21][22][23]

The triangle ABC is a right triangle, as shown in the upper part of the diagram, with BC the hypotenuse.삼각형 ABC는 도표의 상부에 표시된 것처럼 직각 삼각형이며 BC는 하이포텐스를 사용한다. At the same time the triangle lengths are measured as shown, with the hypotenuse of length y, the side AC of length x and the side AB of length a, as seen in the lower diagram part. 동시에 삼각형 길이를 그림과 같이 측정한다. 길이 y의 하이포텐션, 길이 x의 옆면 AC 및 길이 a의 옆면 AB.

Diagram for differential proof차동 증거 다이어그램

If x is increased by a small amount dx by extending the side AC slightly to D, then y also increases by dy.측면 AC를 D로 약간 확장하여 x가 소량 dx 증가하면 y도 dy만큼 증가한다. These form two sides of a triangle, CDE, which (with E chosen so CE is perpendicular to the hypotenuse) is a right triangle approximately similar to ABC. 이것들은 (E를 선택해서 CE가 하이포텐유에 수직이 되도록) 대략 ABC와 유사한 직각 삼각형인 CDE의 양면을 형성한다. Therefore, the ratios of their sides must be the same, that is: 따라서 옆면의 비율은 같아야 한다. 즉, 다음과 같다.

d y d x = x y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}

This can be rewritten as y d y = x d x {\displaystyle y\,dy=x\,dx}

, which is a differential equation that can be solved by direct integration: 이는 y d y = x x x {\displaystyle y\,dy=x\,dx}로 다시 쓸 수 있으며,

이는 직접 통합으로 해결할 수 있는 미분 방정식이다.

∫ y d y = ∫ x d x , {\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,,}

giving 부여

y 2 = x 2 + C . {\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}

The constant can be deduced from x = 0, y = a to give the equation 상수는 x = 0, y = a에서 추론하여 방정식을 제공할 수 있다.

y 2 = x 2 + a 2 . {\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}

This is more of an intuitive proof than a formal one: it can be made more rigorous if proper limits are used in place of dx and dy.이것은 형식적인 증거라기보다는 직관적인 증거에 가깝다. 즉, dx와 dy 대신에 적절한 한도를 사용한다면 더욱 엄격하게 만들 수 있다.

Converse컨버스

The converse of the theorem is also true:[24] 정리의 반대도 사실이다.[24]

For any three positive numbers a, b, and c such that a2 + b2 = c2, there exists a triangle with sides a, b and c, and every such triangle has a right angle between the sides of lengths a and b.a2 + b2 = c와2 같은 세 개의 양수 a, b, c에 대해, a, b, c 변이 있는 삼각형이 존재하며, 그러한 모든 삼각형은 a와 b 길이의 변 사이에 직각을 가진다.

An alternative statement is: 대안은 다음과 같다.

For any triangle with sides a, b, c, if a2 + b2 = c2, then the angle between a and b measures 90°.면이 a, b, c인 삼각형의 경우, + b2 = c인22 경우 a와 b 사이의 각도는 90°를 측정한다.

This converse also appears in Euclid's Elements (Book I, Proposition 48):[25] 이 역은 유클리드 원소(Book I, Proposition 48):[25]

"If in a triangle the square on one of the sides equals the sum of the squares on the remaining two sides of the triangle, then the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.""삼각형에서 한 변의 제곱이 삼각형의 나머지 두 변의 제곱합과 같다면, 삼각형의 나머지 두 변이 포함하는 각도가 옳다."

It can be proven using the law of cosines or as follows: 코사인 법칙을 사용하거나 다음과 같이 증명할 수 있다.

Let ABC be a triangle with side lengths a, b, and c, with a2 + b2 = c2. Construct a second triangle with sides of length a and b containing a right angle.ABC는 옆 길이 a, b2, c를2 가진 삼각형이 되도록 한다. 길이2 a와 b의 옆면이 직각을 포함하는 두 번째 삼각형을 구성한다. By the Pythagorean theorem, it follows that the hypotenuse of this triangle has length c = √a2 + b2, the same as the hypotenuse of the first triangle. 피타고라스 정리로는 이 삼각형의 하이포텐use가 길이 c = √a2 + b를2 가지고 있는데, 이는 첫 번째 삼각형의 하이포텐use와 같다. Since both triangles' sides are the same lengths a, b and c, the triangles are congruent and must have the same angles. 두 삼각형의 옆면은 길이가 a, b, c가 같기 때문에 삼각형은 서로 합치되어 동일한 각도를 가져야 한다. Therefore, the angle between the side of lengths a and b in the original triangle is a right angle. 따라서 원래 삼각형에서 길이 a와 b의 옆면 사이의 각도는 직각이다.

The above proof of the converse makes use of the Pythagorean theorem itself.위의 역설에 대한 증거는 피타고라스의 정리 그 자체를 이용한다. The converse can also be proven without assuming the Pythagorean theorem.[26][27] 그 역도 피타고라스의 정리를 가정하지 않고도 증명할 수 있다.[26][27]

A corollary of the Pythagorean theorem's converse is a simple means of determining whether a triangle is right, obtuse, or acute, as follows.피타고라스의 정리의 역행은 삼각형이 옳은지 둔한지 또는 급성인지를 판단하는 간단한 수단으로서 다음과 같다. Let c be chosen to be the longest of the three sides and a + b > c (otherwise there is no triangle according to the triangle inequality). c를 삼면 중 가장 길고, a + b > c(그렇지 않으면 삼각형 불평등에 따른 삼각형이 없다)로 선택하자. The following statements apply:[28] 다음 문장이 적용된다.[28]

If a2 + b2 = c2, then the triangle is right.+ b2 = c이면2 삼각형이2 맞다.
If a2 + b2 > c2, then the triangle is acute.+ b2 > c이면22 삼각형이 급하다.
If a2 + b2 < c2, then the triangle is obtuse.a2 + b2 < c이면2 삼각형이 둔하다.

Edsger W. Dijkstra has stated this proposition about acute, right, and obtuse triangles in this language:Edsger W. Dijkstra는 이 언어로 급성, 우측 및 둔탁한 삼각형에 대해 다음과 같은 명제를 발표했다.

sgn(α + β − γ) = sgn(a2 + b2 − c2),sgn(α + β − γ) = sgn(a2 + b2 − c2),

where α is the angle opposite to side a, β is the angle opposite to side b, γ is the angle opposite to side c, and sgn is the sign function.[29]여기서 α는 측면 a에 반대되는 각도, β는 측면 b에 반대되는 각도, α는 측면 c에 반대되는 각도, sgn은 부호함수다.[29]

Consequences and uses of the theorem정리의 결과 및 사용

Pythagorean triples피타고라스 삼배

Main article:주요 기사: Pythagorean triple 피타고라스의 삼배

A Pythagorean triple has three positive integers a, b, and c, such that a2 + b2 = c2.피타고라스 세 쌍은 a2, b2, c와2 같은 세 개의 양의 정수를 가지고 있다. In other words, a Pythagorean triple represents the lengths of the sides of a right triangle where all three sides have integer lengths.[1] 즉, 피타고라스의 세 쌍은 세 변이 모두 정수 길이를 갖는 직각 삼각형의 변의 길이를 나타낸다.[1] Such a triple is commonly written (a, b, c). 그러한 삼행은 일반적으로 (a, b, c)라고 쓰여 있다. Some well-known examples are (3, 4, 5) and (5, 12, 13). 잘 알려진 예로는 (3, 4, 5)와 (5, 12, 13)이 있다.

A primitive Pythagorean triple is one in which a, b and c are coprime (the greatest common divisor of a, b and c is 1).원시 피타고라스 세 쌍은 a, b, c가 짝짓기(a, b, c의 가장 큰 공통점자는 1)인 것이다.

The following is a list of primitive Pythagorean triples with values less than 100: 다음은 값이 100 미만인 원시 피타고라스 3쌍의 목록이다.

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Reciprocal Pythagorean theorem상호피타고라스 정리

Given a right triangle with sides a , b , c {\displaystyle a,b,c}

and altitude d {\displaystyle d}

(a line from the right angle and perpendicular to the hypotenuse c {\displaystyle c}

).측면 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 및

고도 d {\displaystyle d}(

오른쪽 각도에서 hypotenuse c {\displaystyle c}에 수직인 선)에 대한 직각 삼각형이 지정됨.

The Pythagorean theorem has, 피타고라스의 정리는,

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

while the reciprocal Pythagorean theorem[30] or the upside down Pythagorean theorem[31] relates the two legs a , b {\displaystyle a,b}

to the altitude d {\displaystyle d}

,[32] 역수 피타고라스 정리나[30] 거꾸로 뒤집힌 피타고라스 정리는[31] 고도 d {\displaystyle a,b}에

두 다리를 연관시킨다.

[32]

1 a 2 + 1 b 2 = 1 d 2 {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}

The equation can be transformed to, 그 방정식은 다음과 같이 변형될 수 있다.

1 ( x z ) 2 + 1 ( y z ) 2 = 1 ( x y ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}}

where x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}

for any non-zero real x , y , z {\displaystyle x,y,z}

. If the a , b , d {\displaystyle a,b,d}

are to be integers, the smallest solution a > b > d {\displaystyle a>b>d}

is then 여기서 x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+y^{2}=z^{2}}: 0이

아닌 실제 x, y, z, {\displaystyle x,y,z}.

a, b, d, d가 정수인 경우

, 가장 작은 용액 a >d > d> {\d > 입니다

1 20 2 + 1 15 2 = 1 12 2 {\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}

using the smallest Pythagorean triple 3 , 4 , 5 {\displaystyle 3,4,5}

. The reciprocal Pythagorean theorem is a special case of the optic equation 가장 작은 피타고라스 트리플 3,4,5 {\displaystyle 3,4,5}을(를) 사용한다.

역수 피타고라스 정리는 시신 방정식의 특별한 경우다.

1 p + 1 q = 1 r {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}

where the denominators are squares and also for a heptagonal triangle whose sides p , q , r {\displaystyle p,q,r}

are square numbers.여기서 분모는 정사각형이며, 면 p ,q , r {\displaystyle p,q,r}이

(가) 정사각형 숫자인 헵탄 삼각형에도 해당된다.

Incommensurable lengths헤아릴 수 없는 길이

The spiral of Theodorus:테오도로스의 나선은 다음과 같다. A construction for line segments with lengths whose ratios are the square root of a positive integer 양의 정수의 제곱근인 길이의 선 세그먼트에 대한 구조

One of the consequences of the Pythagorean theorem is that line segments whose lengths are incommensurable (so the ratio of which is not a rational number) can be constructed using a straightedge and compass.피타고라스 정리의 결과 중 하나는 길이가 상이할 수 없는 선 부분(따라서 그 비율이 합리적 숫자가 아님)을 직선자와 나침반을 사용하여 구성할 수 있다는 것이다. Pythagoras's theorem enables construction of incommensurable lengths because the hypotenuse of a triangle is related to the sides by the square root operation. 피타고라스의 정리는 삼각형의 저선용도가 제곱근 연산에 의해 옆면과 연관되기 때문에 헤아릴 수 없는 길이의 건설을 가능하게 한다.

The figure on the right shows how to construct line segments whose lengths are in the ratio of the square root of any positive integer.[33]오른쪽 그림은 길이가 모든 양의 정수의 제곱근 비율인 선 세그먼트를 구성하는 방법을 보여준다.[33] Each triangle has a side (labeled "1") that is the chosen unit for measurement. 각 삼각형에는 측정을 위해 선택된 단위인 면("1"이라고 라벨이 붙어 있다. In each right triangle, Pythagoras's theorem establishes the length of the hypotenuse in terms of this unit. 각각의 오른쪽 삼각형에서 피타고라스의 정리는 이 단위의 관점에서 하이포텐유스의 길이를 설정한다. If a hypotenuse is related to the unit by the square root of a positive integer that is not a perfect square, it is a realization of a length incommensurable with the unit, such as √2, √3, √5 . For more detail, see Quadratic irrational. 만약 저선사용이 완벽한 정사각형이 아닌 양의 정수의 제곱근에 의해 단위에 관련된다면, 22, 33, 55와 같이 단위와 비교할 수 없는 길이를 실현하는 것이다. 자세한 내용은 4차 비합리성을 참조한다.

Incommensurable lengths conflicted with the Pythagorean school's concept of numbers as only whole numbers.헤아릴 수 없는 긴 길이 피타고라스 학교의 정수 개념과 충돌했다. The Pythagorean school dealt with proportions by comparison of integer multiples of a common subunit.[34] 피타고라스 학파는 공통 서브 유닛의 정수 배수를 비교하여 비율을 다루었다.[34] According to one legend, Hippasus of Metapontum (ca. 470 B.C.) was drowned at sea for making known the existence of the irrational or incommensurable.[35][36] 한 전설에 따르면, 메타폰툼의 히파수스는 비이성적이거나 이해할 수 없는 사람들의 존재를 알려준다는 이유로 바다에 빠져 죽었다고 한다.[35][36]

Complex numbers콤플렉스

The absolute value of a complex number z is the distance r from z to the origin복합수 z의 절대값은 z에서 원점까지의 거리 r이다.

For any complex number 모든 복잡한 숫자에 대해

z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,}

the absolute value or modulus is given by 절대값 또는 계수는 다음에 의해 주어진다.

r = z = x 2 + y 2 . {\displaystyle r= z ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

So the three quantities, r, x and y are related by the Pythagorean equation, 그래서 세 가지 수량, r, x, y는 피타고라스 방정식에 의해 연관되어 있다.

r 2 = x 2 + y 2 . {\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}

Note that r is defined to be a positive number or zero but x and y can be negative as well as positive.r은 양수 또는 0으로 정의되지만 x와 y는 양수일 뿐 아니라 음수일 수 있다는 점에 유의한다. Geometrically r is the distance of the z from zero or the origin O in the complex plane. 기하학적으로 r은 복잡한 평면에서 z가 0에서 나오거나 원점 O에서 오는 거리를 말한다.

This can be generalised to find the distance between two points, z1 and z2 say.이것은1 z와 z의2 두 점 사이의 거리를 찾기 위해 일반화될 수 있다. The required distance is given by 필요한 거리는 다음과 같다.

z 1 − z 2 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 , {\displaystyle z_{1}-z_{2} ={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}

so again they are related by a version of the Pythagorean equation, 다시 피타고라스 방정식의 한 버전에 의해 연관되어 있다.

z 1 − z 2 2 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 . {\displaystyle z_{1}-z_{2} ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}

Euclidean distance유클리드 거리

Further information:추가 정보: Euclidean distance 유클리드 거리

The distance formula in Cartesian coordinates is derived from the Pythagorean theorem.[37]데카르트 좌표에서의 거리 공식은 피타고라스 정리로부터 유래한다.[37] If (x1, y1) and (x2, y2) are points in the plane, then the distance between them, also called the Euclidean distance, is given by (x1, y1)와 (x2, y2)가 평면의 점이라면, 유클리드 거리라고도 하는 이들 사이의 거리는 다음과 같이 주어진다.

( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}

More generally, in Euclidean n-space, the Euclidean distance between two points, A = ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}

and B = ( b 1 , b 2 , … , b n ) {\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}

, is defined, by generalization of the Pythagorean theorem, as: More generally, in Euclidean n-space, the Euclidean distance between two points, A = ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}

and B = ( b 1 , b 2 , … , b n ) {\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}

, is defined, by generalization of the Pythagorean theorem, as:

( a 1 − b 1 ) 2 + ( a 2 − b 2 ) 2 + ⋯ + ( a n − b n ) 2 = ∑ i = 1 n ( a i − b i ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}

If instead of Euclidean distance, the square of this value (the squared Euclidean distance, or SED) is used, the resulting equation avoids square roots and is simply a sum of the SED of the coordinates: 유클리드 거리 대신 이 값의 제곱(SED 제곱 유클리드 거리)을 사용할 경우, 결과 방정식은 제곱근을 피하고 단순히 좌표의 SED의 합이다.

( a 1 − b 1 ) 2 + ( a 2 − b 2 ) 2 + ⋯ + ( a n − b n ) 2 = ∑ i = 1 n ( a i − b i ) 2 . {\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}

The squared form is a smooth, convex function of both points, and is widely used in optimization theory and statistics, forming the basis of least squares.제곱 형태는 양쪽 점의 매끄럽고 볼록한 함수로서 최적화 이론과 통계에 널리 사용되어 최소 제곱의 기초를 이루고 있다.

Euclidean distance in other coordinate systems다른 좌표계의 유클리드 거리

If Cartesian coordinates are not used, for example, if polar coordinates are used in two dimensions or, in more general terms, if curvilinear coordinates are used, the formulas expressing the Euclidean distance are more complicated than the Pythagorean theorem, but can be derived from it.예를 들어 극좌표를 2차원으로 사용하거나 보다 일반적인 용어로 곡선 좌표를 사용하는 경우 등 데카르트 좌표를 사용하지 않는 경우, 유클리드 거리를 표현하는 공식은 피타고라스 정리보다 복잡하지만 그것에서 도출할 수 있다. A typical example where the straight-line distance between two points is converted to curvilinear coordinates can be found in the applications of Legendre polynomials in physics. 두 점 사이의 직선 거리를 곡선 좌표로 변환하는 전형적인 예는 물리학에서 범례 다항식의 응용에서 찾을 수 있다. The formulas can be discovered by using Pythagoras's theorem with the equations relating the curvilinear coordinates to Cartesian coordinates. 이 공식들은 피타고라스의 정리를 이용하여, 곡선 좌표를 데카르트 좌표와 관련된 방정식을 이용하여 발견할 수 있다. For example, the polar coordinates (r, θ) can be introduced as: 예를 들어 극좌표(r, θ)는 다음과 같이 도입할 수 있다.

x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ . {\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .}

Then two points with locations (r1, θ1) and (r2, θ2) are separated by a distance s: 그런 다음 위치(r1, θ1)와 (r2, θ2)가 있는 두 점을 거리 s로 구분한다.

s 2 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 = ( r 1 cos ⁡ θ 1 − r 2 cos ⁡ θ 2 ) 2 + ( r 1 sin ⁡ θ 1 − r 2 sin ⁡ θ 2 ) 2 . {\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}

Performing the squares and combining terms, the Pythagorean formula for distance in Cartesian coordinates produces the separation in polar coordinates as: 정사각형을 수행하고 항을 결합하면, 거리에 대한 피타고라스 공식은 다음과 같이 극좌표 분리를 생성한다.

s 2 = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 ( cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2 ) = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ⁡ Δ θ , {\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}

using the trigonometric product-to-sum formulas.삼각법 제품 대 합 공식 사용. This formula is the law of cosines, sometimes called the generalized Pythagorean theorem.[38] 이 공식은 코사인의 법칙으로, 때로는 일반화된 피타고라스 정리라고 불리기도 한다.[38] From this result, for the case where the radii to the two locations are at right angles, the enclosed angle Δθ = π/2, and the form corresponding to Pythagoras's theorem is regained: s 2 = r 1 2 + r 2 2 . {\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2 이 결과에서 두 위치에 대한 반지름이 직각인 경우 폐쇄각 Δδ = Δ/2이며, 피타고라스의 정리에 해당하는 형태는 s 2 = r 1 2 + r 2. {\displaysty s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}{2}_{2}}}^{2}.}

The Pythagorean theorem, valid for right triangles, therefore is a special case of the more general law of cosines, valid for arbitrary triangles.}}^{2}.} 오른쪽 삼각형에 유효한

피타고라스 정리는 그러므로 코사인의 보다 일반적인 법칙의 특수한 경우로서 임의 삼각형에 유효하다.

Pythagorean trigonometric identity피타고라스 삼각측량 정체성

Main article:주요 기사: Pythagorean trigonometric identity 피타고라스 삼각측량 정체성

Similar right triangles showing sine and cosine of angle θ각도 θ의 사인 및 코사인을 표시하는 유사한 오른쪽 삼각형

In a right triangle with sides a, b and hypotenuse c, trigonometry determines the sine and cosine of the angle θ between side a and the hypotenuse as: 면 a, b, 하이포텐use c가 있는 오른쪽 삼각형에서 삼각측정은 면 a와 하이포텐use 사이의 각도 θ의 사인 및 코사인(cosine)을 다음과 같이 결정한다.

sin ⁡ θ = b c , cos ⁡ θ = a c . {\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}

From that it follows: 그 결과 다음과 같다.

cos 2 θ + sin 2 θ = a 2 + b 2 c 2 = 1 , {\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}

where the last step applies Pythagoras's theorem.여기서 마지막 단계는 피타고라스의 정리를 적용한다. This relation between sine and cosine is sometimes called the fundamental Pythagorean trigonometric identity.[39] 사인(Sine)과 코사인(Cosine)[39]의 이러한 관계를 근본 피타고라스 삼각계(Phinagorean trigonometric) 정체성으로 부르기도 한다. In similar triangles, the ratios of the sides are the same regardless of the size of the triangles, and depend upon the angles. 비슷한 삼각형에서는 삼각형의 크기에 관계없이 변의 비율이 같으며 각도에 따라 달라진다. Consequently, in the figure, the triangle with hypotenuse of unit size has opposite side of size sin θ and adjacent side of size cos θ in units of the hypotenuse. 결과적으로, 그림에서 단위 크기의 하이포텐 사용 삼각형은 크기 sin opposite의 반대쪽과 크기 cos의 인접면을 하이포텐 사용 단위로 가지고 있다.

Relation to the cross product교차 제품과의 관계

The area of a parallelogram as a cross product; vectors a and b identify a plane and a × b is normal to this plane.교차 생산물로서의 평행사변형 영역; 벡터 a와 b는 평면을 식별하고 × b는 이 평면에 정규적이다.

The Pythagorean theorem relates the cross product and dot product in a similar way:[40] 피타고라스의 정리는 교차 생산물과 도트 생산물을 유사한 방식으로 연관시킨다.[40]

‖ a × b ‖ 2 + ( a ⋅ b ) 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 . {\displaystyle \ \mathbf {a} \times \mathbf {b} \ ^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\ \mathbf {a} \ ^{2}\ \mathbf {b} \ ^{2}.}

This can be seen from the definitions of the cross product and dot product, as 이는 다음과 같이 교차 제품과 도트 제품의 정의에서 알 수 있다.

a × b = a b n sin ⁡ θ a ⋅ b = a b cos ⁡ θ , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}

with n a unit vector normal to both a and b.a와 b 둘 다에 대해 정규적인 단위 벡터 n을 가진. The relationship follows from these definitions and the Pythagorean trigonometric identity. 그 관계는 이러한 정의와 피타고라스 삼각측량적 정체성에서 나타난다.

This can also be used to define the cross product.이것은 또한 교차 제품을 정의하는 데 사용될 수 있다. By rearranging the following equation is obtained 다음 방정식을 재정렬하여 구한다.

‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 . {\displaystyle \ \mathbf {a} \times \mathbf {b} \ ^{2}=\ \mathbf {a} \ ^{2}\ \mathbf {b} \ ^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}

This can be considered as a condition on the cross product and so part of its definition, for example in seven dimensions.[41][42]이것은 예를 들어 7차원에서의 정의의 일부와 교차 제품의 조건으로 간주될 수 있다.[41][42]

Generalizations일반화

Similar figures on the three sides삼면의 유사수치

A generalization of the Pythagorean theorem extending beyond the areas of squares on the three sides to similar figures was known by Hippocrates of Chios in the 5th century BC,[43] and was included by Euclid in his Elements:[44] 피타고라스 정리의 일반화는 3면 정사각형 영역을 넘어 비슷한 수치로 확장된 것으로 기원전 5세기 치오스의 히포크라테스에 의해 알려졌으며,[43] 유클리드(유클리드)는 그의 원소에 다음과 같이 포함되었다.[44]

If one erects similar figures (see Euclidean geometry) with corresponding sides on the sides of a right triangle, then the sum of the areas of the ones on the two smaller sides equals the area of the one on the larger side.만약 어떤 사람이 직각 삼각형의 횡방향에 해당하는 횡방향으로 유사한 형상(유클리드 기하학 참조)을 세운다면, 두 개의 작은 횡방향에 있는 면적의 합은 큰 횡방향의 면적에 해당된다.

This extension assumes that the sides of the original triangle are the corresponding sides of the three congruent figures (so the common ratios of sides between the similar figures are a:b:c).[45]이 확장자는 원래 삼각형의 변이 세 개의 합치형(따라서 유사한 형상 사이의 변의 공통 비율은 a:b:c)의 해당 변이라고 가정한다.[45] While Euclid's proof only applied to convex polygons, the theorem also applies to concave polygons and even to similar figures that have curved boundaries (but still with part of a figure's boundary being the side of the original triangle).[45] 유클리드의 증거는 볼록한 다각형에만 적용되는 반면, 이 정리는 오목한 다각형에도 적용되며, 심지어 곡선을 이루는 경계를 가진 유사한 형상에도 적용된다([45]그러나 여전히 그림의 경계 일부가 원래의 삼각형의 측면인 경우).

The basic idea behind this generalization is that the area of a plane figure is proportional to the square of any linear dimension, and in particular is proportional to the square of the length of any side.이러한 일반화의 기본이념은 평면형상의 면적이 어떤 선형 치수의 제곱에 비례하고, 특히 어떤 면의 길이의 제곱에 비례한다는 것이다. Thus, if similar figures with areas A, B and C are erected on sides with corresponding lengths a, b and c then: 따라서 면적 A, B, C와 유사한 형상을 a, b, c의 길이로 측면에 세운다면 다음과 같다.

A a 2 = B b 2 = C c 2 , {\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,}

⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C . {\displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.}

But, by the Pythagorean theorem, a2 + b2 = c2, so A + B = C. 그러나 피타고라스 정리로는 a22 + b = c2, 그래서 A + B = C.

Conversely, if we can prove that A + B = C for three similar figures without using the Pythagorean theorem, then we can work backwards to construct a proof of the theorem.반대로 피타고라스 정리를 사용하지 않고 비슷한 세 인물에 대해 A + B = C라는 것을 증명할 수 있다면, 우리는 정리의 증거를 구성하기 위해 거꾸로 일할 수 있다. For example, the starting center triangle can be replicated and used as a triangle C on its hypotenuse, and two similar right triangles (A and B ) constructed on the other two sides, formed by dividing the central triangle by its altitude. 예를 들어, 출발 중심 삼각형은 그 하이포텐use에서 삼각형 C로 복제하여 사용할 수 있고, 다른 두 면에 구성된 유사한 직각형(A와 B ) 두 개의 중심 삼각형을 그것의 고도로 나누어 형성할 수 있다. The sum of the areas of the two smaller triangles therefore is that of the third, thus A + B = C and reversing the above logic leads to the Pythagorean theorem a2 + b2 = c2. (See also Einstein's proof by dissection without rearrangement) 따라서 두 개의 작은 삼각형의 면적의 합은 세 번째 삼각형의 합이므로 A + B = C이며 위의 논리를 뒤집으면 피타고라스적 정리2 a2 + b = c2. (또한 재정렬하지 않고 분해하여 아인슈타인의 증명 참조)

Generalization for similar triangles,유사한 삼각형에 대한 일반화,
green area A + B = blue area C녹색 영역 A + B = 파란색 영역 C

Pythagoras's theorem using similar right triangles유사한 직삼각형을 이용한 피타고라스의 정리

Generalization for regular pentagons일반 펜타곤 일반화

Law of cosines코사인 법칙

The separation s of two points (r1, θ1) and (r2, θ2) in polar coordinates is given by the law of cosines.극좌표에서 두 점(r1, θ1)과 (r2, θ2)의 분리 s는 코사인 법칙에 의해 주어진다. Interior angle Δθ = θ1−θ2. 내부 각도 Δθ = θ-θ12.

Main article: Law of cosines주요기사 : 코사인 법칙

The Pythagorean theorem is a special case of the more general theorem relating the lengths of sides in any triangle, the law of cosines:[46] 피타고라스 정리는 어떤 삼각형에서든 면의 길이와 관련된 보다 일반적인 정리의 특별한 경우로 코사인 법칙은 다음과 같다.[46]

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 , {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},}

where θ {\displaystyle \theta }

is the angle between sides a {\displaystyle a}

and b {\displaystyle b}

. 여기서 θ {\displaystyle \theta}은(는) 측면 사이의 각도 a {\displaystyle a}과

b {\displaystyle b}이다

When θ {\displaystyle \theta }

is π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}

radians or 90°, then cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \cos {\theta }=0}

, and the formula reduces to the usual Pythagorean theorem.θ {\displaystyle \theta}이

(가) π 2 {\displaystyle {\frac {}{pi }{2}}°인

경우, cos θ = 0 {\displaystyle \cos {\theta }=0},

공식은 일반적인 피타고라스 정리까지 감소한다.

Arbitrary triangle임의 삼각형

Generalization of Pythagoras's theorem by Tâbit ibn Qorra.[47]타빗 이븐 코라의 피타고라스 정리 일반화.[47] Lower panel: reflection of triangle CAD (top) to form triangle DAC, similar to triangle ABC (top). 하단 패널: 삼각형 CAD(상단)를 반사하여 삼각형 DAC를 형성하며, 이는 삼각형 ABC(상단)와 유사하다.

At any selected angle of a general triangle of sides a, b, c, inscribe an isosceles triangle such that the equal angles at its base θ are the same as the selected angle.면 a, b, c의 일반 삼각형의 어떤 선택된 각도에서 이소체 삼각형을 내접하여 밑부분 θ에서의 동일한 각도가 선택된 각도와 동일하도록 한다. Suppose the selected angle θ is opposite the side labeled c. 선택한 각도 θ이 c라고 표시된 측면의 반대편에 있다고 가정한다. Inscribing the isosceles triangle forms triangle CAD with angle θ opposite side b and with side r along c. Isosceles 삼각형을 내접하면 가로 방향 b와 세로 방향 r로 삼각형 CAD가 형성된다. A second triangle is formed with angle θ opposite side a and a side with length s along c, as shown in the figure. 두 번째 삼각형은 그림에서와 같이 a의 반대편 θ 각도와 c를 따라 길이 s의 면으로 형성된다. Thābit ibn Qurra stated that the sides of the three triangles were related as:[48][49] 타빗 이븐 쿠라는 세 삼각형의 옆면이 다음과 같이 연관되어 있다고 말했다.[48][49]

a 2 + b 2 = c ( r + s ) . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}

As the angle θ approaches π/2, the base of the isosceles triangle narrows, and lengths r and s overlap less and less.θ 각도가 π/2에 가까워질수록 이소체 삼각형의 밑부분은 좁아지고, r과 s는 점점 겹친다. When θ = π/2, ADB becomes a right triangle, r + s = c, and the original Pythagorean theorem is regained. θ = π/2가 되면 ADB는 직삼각형이 되고, r + s = c가 되며, 원래의 피타고라스 정리가 회복된다.

One proof observes that triangle ABC has the same angles as triangle CAD, but in opposite order.한 증거는 삼각형 ABC가 삼각형 CAD와 동일한 각도를 가지지만 반대 순서로 가지고 있다는 것을 관찰한다. (The two triangles share the angle at vertex B, both contain the angle θ, and so also have the same third angle by the triangle postulate.) (두 삼각형은 꼭지점 B에서 각도를 공유하며, 양쪽 모두 각도 θ을 포함하고 있으므로, 삼각형을 기준으로 한 세 번째 각도가 같다.) Consequently, ABC is similar to the reflection of CAD, the triangle DAC in the lower panel. 따라서 ABC는 하단 패널의 삼각형 DAC인 CAD의 반영과 유사하다. Taking the ratio of sides opposite and adjacent to θ, θ에 인접한 반대편의 비율을 취하면,

c b = b r . {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}\ .}

Likewise, for the reflection of the other triangle, 마찬가지로, 다른 삼각형의 반영을 위해,

c a = a s . {\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .}

Clearing fractions and adding these two relations: 분수를 지우고 다음 두 가지 관계를 추가:

c s + c r = a 2 + b 2 , {\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,}

the required result.소정의 결과

The theorem remains valid if the angle θ {\displaystyle \theta }

is obtuse so the lengths r and s are non-overlapping.이 정리는 각도display {\displaystyle \theta }이

(가) 둔하여 길이가 r과 s가 겹치지 않는 경우 유효하다.

General triangles using parallelograms병렬형 문자를 사용하는 일반 삼각형 삼각형

Generalization for arbitrary triangles,임의 삼각형에 대한 일반화,
green area = blue area녹색 영역 = 파란색 영역

Construction for proof of parallelogram generalization평행사변형 일반화 증명 시공

Pappus's area theorem is a further generalization, that applies to triangles that are not right triangles, using parallelograms on the three sides in place of squares (squares are a special case, of course).파푸스의 영역 정리는 정사각형 대신 삼면에 평행고그램을 사용하여 직삼각형이 아닌 삼각형에 적용되는 추가 일반화(제곱은 물론 특수한 경우)이다. The upper figure shows that for a scalene triangle, the area of the parallelogram on the longest side is the sum of the areas of the parallelograms on the other two sides, provided the parallelogram on the long side is constructed as indicated (the dimensions labeled with arrows are the same, and determine the sides of the bottom parallelogram). 위쪽 그림은 스칼린 삼각형의 경우 긴 측면의 평행도가 표시된 대로 구성된 경우(화살표로 표시된 치수는 동일하고 아래쪽 평행도의 측면을 결정함) 가장 긴 측면의 평행그램 면적이 다른 측면의 평행그램 면적의 합임을 보여준다. This replacement of squares with parallelograms bears a clear resemblance to the original Pythagoras's theorem, and was considered a generalization by Pappus of Alexandria in 4 AD[50][51] 이와 같이 평행사변형으로 정사각형을 대체하는 것은 원래의 피타고라스의 정리와 뚜렷이 닮아 AD[50][51] 4년 알렉산드리아의 파푸스에 의해 일반화로 간주되었다.

The lower figure shows the elements of the proof.아래 그림은 증거의 요소를 보여준다. Focus on the left side of the figure. 그림의 왼쪽에 초점을 맞추십시오. The left green parallelogram has the same area as the left, blue portion of the bottom parallelogram because both have the same base b and height h. 왼쪽 녹색 평행사변형은 둘 다 base와 높이 h가 같기 때문에 하단 평행사변형의 왼쪽, 파란색 부분과 동일한 영역을 가진다. However, the left green parallelogram also has the same area as the left green parallelogram of the upper figure, because they have the same base (the upper left side of the triangle) and the same height normal to that side of the triangle. 그러나 왼쪽 녹색 평행사변형도 그 삼각형의 저편과 보통 높이가 같기 때문에 위쪽 형상의 왼쪽 녹색 평행사변형과 동일한 영역을 가지고 있다. Repeating the argument for the right side of the figure, the bottom parallelogram has the same area as the sum of the two green parallelograms. 그림 오른쪽의 주장을 반복하면 하단 평행그램은 두 개의 녹색 평행그램의 합계와 동일한 면적을 가진다.

Solid geometry솔리드 기하학

Main article:주요 기사: Solid geometry 솔리드 기하학

Pythagoras's theorem in three dimensions relates the diagonal AD to the three sides.피타고라스의 3차원의 정리는 대각선 AD와 3면과의 관계를 맺고 있다.

A tetrahedron with outward facing right-angle corner바깥쪽을 향해 직각 모서리를 향한 사면체

In terms of solid geometry, Pythagoras's theorem can be applied to three dimensions as follows.고체 기하학 면에서는 피타고라스의 정리를 다음과 같이 3차원에 적용할 수 있다. Consider a rectangular solid as shown in the figure. 그림과 같이 직사각형의 고체를 고려하십시오. The length of diagonal BD is found from Pythagoras's theorem as: 대각선 BD의 길이는 피타고라스의 정리로부터 다음과 같이 발견된다.

B D ¯ 2 = B C ¯ 2 + C D ¯ 2 , {\displaystyle {\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ ,}

where these three sides form a right triangle.이 세 면이 직각 삼각형을 이루는 곳 Using horizontal diagonal BD and the vertical edge AB, the length of diagonal AD then is found by a second application of Pythagoras's theorem as: 수평 대각선 BD와 수직 가장자리 AB를 사용하여 대각선 AD의 길이는 피타고라스의 정리를 다음과 같이 두 번째 적용에 의해 발견된다.

A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B D ¯ 2 , {\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}}^{\,2}\ ,}

or, doing it all in one step: 또는 모든 작업을 한 번에 수행:

A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 + C D ¯ 2 . {\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ .}

This result is the three-dimensional expression for the magnitude of a vector v (the diagonal AD) in terms of its orthogonal components {vk} (the three mutually perpendicular sides):이 결과는 직교 구성 요소 {vk}(상호 수직인 3면) 측면에서 벡터 v(대각선 AD)의 크기에 대한 3차원 식입니다.

‖ v ‖ 2 = ∑ k = 1 3 ‖ v k ‖ 2 . {\displaystyle \ \mathbf {v} \ ^{2}=\sum _{k=1}^{3}\ \mathbf {v} _{k}\ ^{2}.}

This one-step formulation may be viewed as a generalization of Pythagoras's theorem to higher dimensions.이 한 단계 제형은 피타고라스의 정리를 더 높은 차원으로 일반화한 것으로 볼 수 있다. However, this result is really just the repeated application of the original Pythagoras's theorem to a succession of right triangles in a sequence of orthogonal planes. 그러나 이 결과는 실로 원래의 피타고라스의 정리가 직교면의 연속적인 우삼각형에 반복적으로 적용되는 것에 지나지 않는다.

A substantial generalization of the Pythagorean theorem to three dimensions is de Gua's theorem, named for Jean Paul de Gua de Malves:피타고라스의 정리를 3차원으로 대폭 일반화한 것은 장 폴 드 과 드 말베스의 이름을 딴 데 과의 정리다. If a tetrahedron has a right angle corner (like a corner of a cube), then the square of the area of the face opposite the right angle corner is the sum of the squares of the areas of the other three faces. 4면체 모서리(입방체의 모서리처럼)가 직각 모서리인 경우, 직각 모서리 반대편의 면적의 제곱은 다른 세 면의 면적의 제곱합이다. This result can be generalized as in the "n-dimensional Pythagorean theorem":[52] 이 결과는 "n차원 피타고라스 정리"[52]에서와 같이 일반화될 수 있다.

Let x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}

be orthogonal vectors in ℝn.xn 1,x 2…, x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}}을(를) ve에서 직교 벡터가 되도록

한다. Consider the n-dimensional simplex S with vertices 0 , x 1 , … , x n {\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}

. (Think of the (n − 1)-dimensional simplex with vertices x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}

not including the origin as the "hypotenuse" of S and the remaining (n − 1)-dimensional faces of S as i Consider the n-dimensional simplex S with vertices 0 , x 1 , … , x n {\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}

. (Think of the (n − 1)-dimensional simplex with vertices x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}

not including the origin as the "hypotenuse" of S and the remaining (n − 1)-dimensional faces of S as its "legs".)ts "legs"). Then the square of the volume of the hypotenuse of S is the sum of the squares of the volumes of the n legs. 그 다음에 S의 저선화 볼륨의 제곱은 n다리의 볼륨의 제곱합이다.

This statement is illustrated in three dimensions by the tetrahedron in the figure.이 문장은 그림의 사면체(사면체)에 의해 3차원으로 설명된다. The "hypotenuse" is the base of the tetrahedron at the back of the figure, and the "legs" are the three sides emanating from the vertex in the foreground. '하이포테누스'는 인물 뒤쪽에 있는 4면체의 밑부분이며, '다리'는 전경에 있는 꼭지점에서 뿜어져 나오는 삼면이다. As the depth of the base from the vertex increases, the area of the "legs" increases, while that of the base is fixed. 꼭지점에서 기단의 깊이가 높아지면 '다리'의 면적이 높아지는 반면 기단의 깊이는 고정되어 있다. The theorem suggests that when this depth is at the value creating a right vertex, the generalization of Pythagoras's theorem applies. 이 정리는 이 깊이가 오른쪽 꼭지점을 만드는 가치에 있을 때 피타고라스의 정리의 일반화가 적용된다는 것을 시사한다. In a different wording:[53] 다른 표현으로:[53]

Given an n-rectangular n-dimensional simplex, the square of the (n − 1)-content of the facet opposing the right vertex will equal the sum of the squares of the (n − 1)-contents of the remaining facets.n-직사각형 n-차원 심플렉스인 경우, 오른쪽 꼭지점에 반대되는 면의 (n - 1)-함량의 제곱은 나머지 면의 (n - 1) 함량의 제곱의 합과 같을 것이다.

Inner product spaces내부 제품 공간

See also:참고 항목: Hilbert space 힐베르트 공간

Vectors involved in the parallelogram law평행사변형법 관련 벡터

The Pythagorean theorem can be generalized to inner product spaces,[54] which are generalizations of the familiar 2-dimensional and 3-dimensional Euclidean spaces.피타고라스의 정리는 내부 제품 공간으로 일반화할 수 있는데,[54] 이는 친숙한 2차원과 3차원의 유클리드 공간을 일반화한 것이다. For example, a function may be considered as a vector with infinitely many components in an inner product space, as in functional analysis.[55] 예를 들어 기능 분석에서와 같이 내부 제품 공간에 무한히 많은 구성요소를 가진 벡터로 간주할 수 있다.[55]

In an inner product space, the concept of perpendicularity is replaced by the concept of orthogonality: two vectors v and w are orthogonal if their inner product ⟨ v , w ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }

is zero.내부 제품 공간에서 수직성의 개념은 직교성 개념으로 대체된다: 두 벡터 v와 w가 직교하는

경우: 내부 제품 ⟨ v, w ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {v},\mathbf {w} \rangele}. The inner product is a generalization of the dot product of vectors. 내부 제품은 벡터의 도트 제품을 일반화한 것이다. The dot product is called the standard inner product or the Euclidean inner product. 도트 제품은 표준 이너 제품 또는 유클리드 이너 제품이라고 불린다. However, other inner products are possible.[56] 하지만 다른 내적인 제품은 가능하다.[56]

The concept of length is replaced by the concept of the norm v of a vector v, defined as:[57] 길이의 개념은 다음과 같이 정의되는 벡터 v의 표준 v 개념으로 대체된다.[57]

‖ v ‖ ≡ ⟨ v , v ⟩ . {\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\,.}

In an inner-product space, the Pythagorean theorem states that for any two orthogonal vectors v and w we have 내부 제품 공간에서 피타고라스 정리에서는 어떤 두 직교 벡터 v와 w에 대해서도

‖ v + w ‖ 2 = ‖ v ‖ 2 + ‖ w ‖ 2 . {\displaystyle \left\ \mathbf {v} +\mathbf {w} \right\ ^{2}=\left\ \mathbf {v} \right\ ^{2}+\left\ \mathbf {w} \right\ ^{2}.}

Here the vectors v and w are akin to the sides of a right triangle with hypotenuse given by the vector sum v + w.여기서 벡터 v와 w는 벡터섬 v + w에 의해 주어지는 하이포텐use와 함께 오른쪽 삼각형의 측면과 유사하다. This form of the Pythagorean theorem is a consequence of the properties of the inner product: 피타고라스 정리의 이러한 형태는 내생물의 성질의 결과물이다.

‖ v + w ‖ 2 = ⟨ v + w , v + w ⟩ = ⟨ v , v ⟩ + ⟨ w , w ⟩ + ⟨ v , w ⟩ + ⟨ w , v ⟩ = ‖ v ‖ 2 + ‖ w ‖ 2 , {\displaystyle \left\ \mathbf {v} +\mathbf {w} \right\ ^{2}=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \ =\left\ \mathbf {v} \right\ ^{2}+\left\ \mathbf {w} \right\ ^{2},}

where the inner products of the cross terms are zero, because of orthogonality.직교성 때문에 교차 용어의 내부 생산물이 0인 경우.

A further generalization of the Pythagorean theorem in an inner product space to non-orthogonal vectors is the parallelogram law :[57] 내부 제품 공간에서 비직교 벡터에 대한 피타고라스 정리의 추가 일반화는 평행사변형 법칙이다.[57]

2 ‖ v ‖ 2 + 2 ‖ w ‖ 2 = ‖ v + w ‖ 2 + ‖ v − w ‖ 2 , {\displaystyle 2\ \mathbf {v} \ ^{2}+2\ \mathbf {w} \ ^{2}=\ \mathbf {v+w} \ ^{2}+\ \mathbf {v-w} \ ^{2}\ ,}

which says that twice the sum of the squares of the lengths of the sides of a parallelogram is the sum of the squares of the lengths of the diagonals.이것은 평행사변형의 길이에 대한 제곱의 두 배가 대각선 길이의 제곱의 합이라는 것을 의미한다. Any norm that satisfies this equality is ipso facto a norm corresponding to an inner product.[57] 이 평등을 만족시키는 어떤 규범도 사실상 내부 생산물에 해당하는 규범이다.[57]

The Pythagorean identity can be extended to sums of more than two orthogonal vectors. 피타고라스의 정체성은 두 개 이상의 직교 벡터 합계로 확장될 수 있다. If v1, v2, ..., vn are pairwise-orthogonal vectors in an inner-product space, then application of the Pythagorean theorem to successive pairs of these vectors (as described for 3-dimensions in the section on solid geometry) results in the equation[58] v1, v2, ..., v가n 내부 제품 공간에서 쌍으로 구성된 직교 벡터인 경우, 피타고라스 정리를 이러한 벡터의 연속적인 쌍(고체 기하학 섹션의 3차원)에 적용하면 방정식이[58] 발생한다.

‖ ∑ k = 1 n v k ‖ 2 = ∑ k = 1 n ‖ v k ‖ 2 {\displaystyle \left\ \sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}\right\ ^{2}=\sum _{k=1}^{n}\ \mathbf {v} _{k}\ ^{2}}

Sets of m-dimensional objects in n-dimensional spacen차원 공간의 m차원 객체 세트

Another generalization of the Pythagorean theorem applies to Lebesgue-measurable sets of objects in any number of dimensions.피타고라스 정리의 또 다른 일반화는 레베그 측정 가능한 물체 집합에 임의의 수의 차원에 적용된다. Specifically, the square of the measure of an m-dimensional set of objects in one or more parallel m-dimensional flats in n-dimensional Euclidean space is equal to the sum of the squares of the measures of the orthogonal projections of the object(s) onto all m-dimensional coordinate subspaces.[59] 특히, n-차원 유클리드 공간에서 하나 이상의 평행 m-차원 평면에 있는 물체의 측정값의 제곱은 모든 m-차원 좌표 하위 공간에 대한 물체의 직교 투영 측정값의 제곱합과 같다.[59]

In mathematical terms: 수학적 용어로:

μ m s 2 = ∑ i = 1 x μ 2 m p i {\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}}

where: 어디:

μ m {\displaystyle \mu _{m}} is a measure in m-dimensions (a length in one dimension, an area in two dimensions, a volume in three dimensions, etc.). μm {\displaystyle \mu _{m}는 m-³의 측정값이다 (1차원 길이, 2차원 면적, 3차원 볼륨 등).
s {\displaystyle s} is a set of one or more non-overlapping m-dimensional objects in one or more parallel m-dimensional flats in n-dimensional Euclidean space. s {\displaystyle s}은 n-차원 유클리드 공간에 있는 하나 이상의 평행 m-차원 평면에 있는 하나 이상의 비 겹치지 않는 m-차원 물체 집합이다.
μ m s {\displaystyle \mu _{ms}} is the total measure (sum) of the set of m-dimensional objects. μm s {\displaystyle \mu _{ms}는 m-차원 물체 집합의 총 측정치(sum)이다 .
p {\displaystyle p} represents an m-dimensional projection of the original set onto an orthogonal coordinate subspace. p [\displaystyle p}은 직교 좌표 하위 공간에 대한 원래 세트의 m-차원 투영을 나타낸다 .
μ m p i {\displaystyle \mu _{mp_{i}}} is the measure of the m-dimensional set projection onto m-dimensional coordinate subspace i {\displaystyle i} . Because object projections can overlap on a coordinate subspace, the measure of each object projection in the set must be calculated individually, then measures of all projecti μm p i {\displaystyle \mu _{mp_{i}}}은 m-차원 좌표 하위 공간 i {\displaystyle i}에 대한 m-차원 세트 투영 측정값이다 . 객체 투영은 좌표 하위 공간에서 중복될 수 있으므로 집합의 각 객체 투영 측정값은 개별적으로 계산한 다음 모든 투영법의 측정값이어야 한다.ons added together to provide the total measure for the set of projections on the given coordinate subspace.주어진 좌표 하위 공간의 투영 집합에 대한 총 측정값을 제공하기 위해 함께 추가된 ons.
x {\displaystyle x} is the number of orthogonal, m-dimensional coordinate subspaces in n-dimensional space (Rn) onto which the m-dimensional objects are projected (m ≤ n): x {\displaystyle x}은 (는) m-차원 객체가 투영되는 n-차원 공간(Rn)의 직교, m-차원 좌표 하위 공간의 수입니다(m ≤ n).

x = ( n m ) = n ! m ! ( n − m ) ! {\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}

Non-Euclidean geometry비유클리드 기하학

Main article: Non-Euclidean geometry주요기사 : 비유클리드 기하학

See also:참고 항목: Hilbert's axioms 힐베르트의 공리

The Pythagorean theorem is derived from the axioms of Euclidean geometry, and in fact, were the Pythagorean theorem to fail for some right triangle, then the plane in which this triangle is contained cannot be Euclidean.피타고라스적 정리는 유클리드 기하학의 공리에서 파생된 것으로, 사실 피타고라스적 정리가 어떤 직각 삼각형에서 실패하는 것이었으므로 이 삼각형이 들어 있는 평면은 유클리드일 수 없다. More precisely, the Pythagorean theorem implies, and is implied by, Euclid's Parallel (Fifth) Postulate.[60][61] 더 정확히 말하면, 피타고라스 정리는 유클리드 평행 (5번째) 포스탈레이트를 암시하고, 암시하고 있다.[60][61] Thus, right triangles in a non-Euclidean geometry [62] do not satisfy the Pythagorean theorem. 따라서 비유클리드 기하학에서[62] 직삼각형은 피타고라스 정리를 만족시키지 못한다. For example, in spherical geometry, all three sides of the right triangle (say a, b, and c) bounding an octant of the unit sphere have length equal to π/2, and all its angles are right angles, which violates the Pythagorean theorem because a 2 + b 2 = 2 c 2 > c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2 예를 들어 구면 기하학에서 단위 구의 옥탄트를 경계하는 오른쪽 삼각형의 세 면(say a, b, c)은 모두 길이가 //2이고, 그 각도가 모두 직각으로 되어 있어 2 + b 2 = 2 c = 2 > c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}{2}{2}}{2}{2}}{2}}}}{2}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 피타고라인의 피타고라인의 피타고라인의 피타고라인의 피타고}=2c^{2}>c^{2}}

. }}=2c^{2}>c^{2}}.

Here two cases of non-Euclidean geometry are considered—spherical geometry and hyperbolic plane geometry; in each case, as in the Euclidean case for non-right triangles, the result replacing the Pythagorean theorem follows from the appropriate law of cosines.여기서 비유클리드 기하학의 두 가지 사례, 즉 구면 기하학과 쌍곡면 기하학을 고려한다. 각각의 경우, 비우측 삼각형에 대한 유클리드 사례에서와 같이 피타고라스 정리를 대체한 결과는 코사인의 적절한 법칙에서 따른다.

However, the Pythagorean theorem remains true in hyperbolic geometry and elliptic geometry if the condition that the triangle be right is replaced with the condition that two of the angles sum to the third, say A+B = C.그러나, 삼각형이 옳다는 조건이 세 번째에 해당하는 각도의 두 개를 합한 조건으로 대체된다면, 예를 들어 A+B = C라고 하는 쌍곡 기하학과 타원 기하학에서는 피타고라스적 정리가 참으로 남아 있다. The sides are then related as follows: the sum of the areas of the circles with diameters a and b equals the area of the circle with diameter c.[63] 그 다음 측면은 다음과 같이 연관된다: 지름 a와 b를 가진 원의 영역의 합은 지름 c를 가진 원의 면적과 같다.[63]

Spherical geometry구형 기하학

Main article:주요 기사: Spherical geometry 구형 기하학

Spherical triangle구면 삼각형

For any right triangle on a sphere of radius R (for example, if γ in the figure is a right angle), with sides a, b, c, the relation between the sides takes the form:[64] 반지름 R의 구(예: 그림에서 γ이 직각인 경우)에 대해, 측면 a, b, c와 함께, 측면 사이의 관계는 다음과 같은 형태를 취한다.[64]

cos ⁡ ( c R ) = cos ⁡ ( a R ) cos ⁡ ( b R ) . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right).}

This equation can be derived as a special case of the spherical law of cosines that applies to all spherical triangles: 이 방정식은 모든 구형 삼각형에 적용되는 코사인 구형 법칙의 특별한 사례로 도출될 수 있다.

cos ⁡ ( c R ) = cos ⁡ ( a R ) cos ⁡ ( b R ) + sin ⁡ ( a R ) sin ⁡ ( b R ) cos ⁡ γ . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos \gamma \ .}

By expressing the Maclaurin series for the cosine function as an asymptotic expansion with the remainder term in big O notation, 코사인 함수에 대한 Maclaurin 시리즈를 큰 O 표기법으로 나머지 항을 점증적 팽창으로 표현함으로써,

cos ⁡ x = 1 − x 2 2 + O ( x 4 ) as x → 0 , {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\text{ as }}x\to 0\ ,}

it can be shown that as the radius R approaches infinity and the arguments a/R, b/R, and c/R tend to zero, the spherical relation between the sides of a right triangle approaches the Euclidean form of the Pythagorean theorem.반지름 R이 무한에 접근하고, 인수 a/R, b/R, c/R이 0이 되는 경향이 있으므로, 직각 삼각형의 면들 사이의 구면관계는 피타고라스 정리의 유클리드 형태에 접근한다는 것을 알 수 있다. Substituting the asymptotic expansion for each of the cosines into the spherical relation for a right triangle yields 각 코사인에 대한 점근확장을 직삼각형 수율에 대한 구면관계로 대체

1 − 1 2 ( c R ) 2 + O ( 1 R 4 ) = [ 1 − 1 2 ( a R ) 2 + O ( 1 R 4 ) ] [ 1 − 1 2 ( b R ) 2 + O ( 1 R 4 ) ] as R → ∞ . {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {c}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)=\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]{\text{ as }}R\to \infty \ .}

The constants a4, b4, and c4 have been absorbed into the big O remainder terms since they are independent of the radius R.상수 a4, b4, c는4 R반경과 독립적이기 때문에 큰 O의 나머지 항으로 흡수되었다. This asymptotic relationship can be further simplified by multiplying out the bracketed quantities, cancelling the ones, multiplying through by −2, and collecting all the error terms together: 이러한 점증적 관계는 격자 수량을 곱하고, 격자 수량을 취소하며, -2를 곱하고, 모든 오차항을 함께 수집함으로써 더욱 단순화할 수 있다.

( c R ) 2 = ( a R ) 2 + ( b R ) 2 + O ( 1 R 4 ) as R → ∞ . {\displaystyle \left({\frac {c}{R}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .}

After multiplying through by R2, the Euclidean Pythagorean relationship c2 = a2 + b2 is recovered in the limit as the radius R approaches infinity (since the remainder term tends to zero):R로2 곱한 후, 유클리드 피타고라스 관계2 c = a2 + b는2 반지름 R이 무한대에 가까워짐에 따라 한계에서 회복된다(남은 기간이 0이 되기 때문이다).

c 2 = a 2 + b 2 + O ( 1 R 2 ) as R → ∞ . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O\left({\frac {1}{R^{2}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .}

For small right triangles (a, b << R), the cosines can be eliminated to avoid loss of significance, giving 작은 우측 삼각형(a, b << R))의 경우, 유의성의 상실을 피하기 위해 코사인을 제거할 수 있으며, 다음과 같은 장점이 있다.

sin 2 ⁡ c 2 R = sin 2 ⁡ a 2 R + sin 2 ⁡ b 2 R − 2 sin 2 ⁡ a 2 R sin 2 ⁡ b 2 R . {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}

Hyperbolic geometry쌍곡 기하학

Main article:주요 기사: Hyperbolic geometry 쌍곡 기하학

See also:참고 항목: Hyperbolic triangle and Gaussian curvature 쌍곡선 삼각형 및 가우스 곡률

Hyperbolic triangle쌍곡선 삼각형

In a hyperbolic space with uniform curvature −1/R2, for a right triangle with legs a, b, and hypotenuse c, the relation between the sides takes the form:[65] 곡률 -1/R이2 균일한 쌍곡선 공간에서 다리 a, b, 저선형 c가 있는 직각 삼각형의 경우, 옆면 사이의 관계는 다음과 같은 형태를 취한다.[65]

cosh ⁡ c R = cosh ⁡ a R cosh ⁡ b R {\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}

where cosh is the hyperbolic cosine.여기서 cosh는 쌍곡선 코사인 것이다. This formula is a special form of the hyperbolic law of cosines that applies to all hyperbolic triangles:[66] 이 공식은 모든 쌍곡 삼각형에 적용되는 코사인 쌍곡선 법칙의 특별한 형태다.[66]

cosh ⁡ c R = cosh ⁡ a R cosh ⁡ b R − sinh ⁡ a R sinh ⁡ b R cos ⁡ γ , {\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\ \cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,}

with γ the angle at the vertex opposite the side c. 측면 c의 반대쪽 정점에 있는 각도를 γ으로 한다.

By using the Maclaurin series for the hyperbolic cosine, cosh x ≈ 1 + x2/2, it can be shown that as a hyperbolic triangle becomes very small (that is, as a, b, and c all approach zero), the hyperbolic relation for a right triangle approaches the form of Pythagoras's theorem.쌍곡선 코사인 cosh x ≈ 1 + x/2에2 대해 Maclaurin 시리즈를 사용함으로써 쌍곡선 삼각형이 매우 작아짐에 따라(즉, a, b, c 모두 0에 가까워짐) 직삼각형의 쌍곡관계는 피타고라스의 정리 형태에 접근한다는 것을 알 수 있다.

For small right triangles (a, b << R), the hyperbolic cosines can be eliminated to avoid loss of significance, giving 작은 오른쪽 삼각형(a, b << R))의 경우 쌍곡 코사인은 유의성의 상실을 피하기 위해 제거할 수 있으며, 이를 통해 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

sinh 2 ⁡ c 2 R = sinh 2 ⁡ a 2 R + sinh 2 ⁡ b 2 R + 2 sinh 2 ⁡ a 2 R sinh 2 ⁡ b 2 R . {\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}

Very small triangles매우 작은 삼각형

For any uniform curvature K (positive, zero, or negative), in very small right triangles ( K a2, K b2 << 1) with hypotenuse c, it can be shown that 균일한 곡률 K(양수, 0 또는 음수)의 경우, 매우 작은 오른쪽 삼각형(K2 a, K2 b << 1)에서 하이포텐use c로 표시된다.

c 2 = a 2 + b 2 − K 3 a 2 b 2 − K 2 45 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 ) − 2 K 3 945 a 2 b 2 ( a 2 − b 2 ) 2 + O ( K 4 c 10 ) . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.}

Differential geometry미분 기하학

Main article: Differential geometry주요기사: 차동 기하학

Distance between infinitesimally separated points in Cartesian coordinates (top) and polar coordinates (bottom), as given by Pythagoras's theorem피타고라스의 정리에서 주어진 데카르트 좌표(상단)와 극좌표(하단)에서 극소수적으로 분리된 점 사이의 거리

On an infinitesimal level, in three dimensional space, Pythagoras's theorem describes the distance between two infinitesimally separated points as: 피타고라스의 정리는 극소수 수준에서 3차원 공간에서 극소수적으로 분리된 두 점 사이의 거리를 다음과 같이 설명한다.

d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 , {\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}

with ds the element of distance and (dx, dy, dz) the components of the vector separating the two points.ds 거리 요소 및 (dx, dy, dz) 두 점을 분리하는 벡터의 구성 요소. Such a space is called a Euclidean space. 그런 공간을 유클리드 공간이라고 한다. However, in Riemannian geometry, a generalization of this expression useful for general coordinates (not just Cartesian) and general spaces (not just Euclidean) takes the form:[67] 그러나 리만 기하학에서는 일반 좌표(카르트어뿐만 아니라)와 일반 공간(유클리드어뿐만 아니라)에 유용한 이 표현식의 일반화가 다음과 같은 형태를 취한다.[67]

d s 2 = ∑ i , j n g i j d x i d x j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}

which is called the metric tensor. (Sometimes, by abuse of language, the same term is applied to the set of coefficients gij.)이것을 미터법 텐서라고 한다. (때로는 언어 남용으로 계수 g 집합에ij 같은 용어를 적용하기도 한다.) It may be a function of position, and often describes curved space. 위치의 함수일 수 있으며, 종종 곡선 공간을 설명한다. A simple example is Euclidean (flat) space expressed in curvilinear coordinates. 간단한 예로 곡선 좌표로 표현된 유클리드(평평한) 공간이 있다. For example, in polar coordinates: 예를 들어 극좌표에서:

d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 . {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .}

History역사

The Plimpton 322 tablet records Pythagorean triples from Babylonian times.[68]플림프턴 322 태블릿은 바빌로니아 시대의 피타고라스 3중주를 기록하고 있다.[68]

There is debate whether the Pythagorean theorem was discovered once, or many times in many places, and the date of first discovery is uncertain, as is the date of the first proof.피타고라스 정리가 한 번 발견됐는지, 아니면 여러 곳에서 여러 번 발견됐는지 논란이 있고, 첫 번째 발견 날짜도 첫 번째 증명의 날짜처럼 불확실하다. Historians of Mesopotamian mathematics have concluded that the Pythagorean rule was in widespread use during the Old Babylonian period (20th to 16th centuries BC), over a thousand years before Pythagoras was born.[69][70][71][72] 메소포타미아 수학의 역사가들은 피타고라스가 태어나기 1000년 전, 구 바빌로니아 시대(기원전 20~16세기)에 피타고라스 통치가 널리 사용되었다고 결론지었다.[69][70][71][72] The history of the theorem can be divided into four parts: knowledge of Pythagorean triples, knowledge of the relationship among the sides of a right triangle, knowledge of the relationships among adjacent angles, and proofs of the theorem within some deductive system. 정리의 역사는 4가지 부분으로 나눌 수 있다: 피타고라스 삼쌍의 지식, 직각 삼각형의 옆구리 사이의 관계에 대한 지식, 인접각 사이의 관계에 대한 지식, 그리고 어떤 연역 체계 안에서 정리의 증명.

Written between 2000 and 1786 BC, the Middle Kingdom Egyptian Berlin Papyrus 6619 includes a problem whose solution is the Pythagorean triple 6:8:10, but the problem does not mention a triangle.기원전 2000년에서 1786년 사이에 쓰여진 중왕국 이집트 베를린 파피루스 6619에는 피타고라스 3중주 6:8:10이 해결책인 문제가 포함되어 있지만, 문제는 삼각형을 언급하지 않는다. The Mesopotamian tablet Plimpton 322, written between 1790 and 1750 BC during the reign of Hammurabi the Great, contains many entries closely related to Pythagorean triples. 함무라비 대왕 때인 기원전 1790년에서 1750년 사이에 쓰여진 메소포타미아 태블릿 플림프톤 322에는 피타고라스의 삼쌍둥이와 밀접한 관련이 있는 많은 출품이 들어 있다.

In India, the Baudhayana Shulba Sutra, the dates of which are given variously as between the 8th and 5th century BC,[73] contains a list of Pythagorean triples and a statement of the Pythagorean theorem, both in the special case of the isosceles right triangle and in the general case, as does the Apastamba Shulba Sutra (c. 600 BC).In India, the Baudhayana Shulba Sutra, the dates of which are given variously as between the 8th and 5th century BC,[73] contains a list of Pythagorean triples and a statement of the Pythagorean theorem, both in the special case of the isosceles right triangle and in the general case, as does the Apastamba Shulba Sutra (c. 600 BC). Van der Waerden believed that this material "was certainly based on earlier traditions". 반 데어 웨르덴은 이 재료가 "확실히 이전의 전통에 기초하고 있다"고 믿었다. Carl Boyer states that the Pythagorean theorem in the Śulba-sũtram may have been influenced by ancient Mesopotamian math, but there is no conclusive evidence in favor or opposition of this possibility.[74] 칼 보이어는 울바-스ũ트람의 피타고라스 정리가 고대 메소포타미아 수학의 영향을 받았을 수도 있다고 말하지만, 이 가능성에 대해 찬성하거나 반대하는 결정적인 증거는 없다.[74]

Proclus, writing in the fifth century AD, states two arithmetic rules, "one of them attributed to Plato, the other to Pythagoras",[75] for generating special Pythagorean triples.AD 5세기에 쓰여진 프롤러스는 두 가지 산술 규칙을 말하는데, 그 중 하나는 플라톤에 귀속된 것이고, 다른 하나는 피타고라스에게 귀속된 것이다.[75] The rule attributed to Pythagoras (c. 570 – c. 495 BC) starts from an odd number and produces a triple with leg and hypotenuse differing by one unit; the rule attributed to Plato (428/427 or 424/423 – 348/347 BC) starts from an even number and produces a triple with leg and hypotenuse differing by two units. 피타고라스(c.기원전 570년 – C 495년)에 귀속된 규칙은 홀수에서 시작하여 다리와 하이포텐스를 하나의 단위로 다르게 하여 삼중수소를 생산한다; 플라톤(기원전 428년/427년 또는 424년/423년 – 348년/347년)에 귀속된 규칙은 짝수에서 시작하여 다리와 하이포텐스를 두 단위씩 다르게 하여 삼중수소를 생산한다. According to Thomas L. 토마스 L에 따르면. Heath (1861–1940), no specific attribution of the theorem to Pythagoras exists in the surviving Greek literature from the five centuries after Pythagoras lived.[76] 히스(1861–1940), 피타고라스가 살았던 후 5세기부터 살아남은 그리스 문헌에는 그 정리의 구체적인 귀속성이 존재하지 않는다.[76] However, when authors such as Plutarch and Cicero attributed the theorem to Pythagoras, they did so in a way which suggests that the attribution was widely known and undoubted.[77][78] 그러나 플루타르크와 키케로 같은 저자들이 그 정리를 피타고라스 탓으로 돌렸을 때, 그들은 그 귀속성이 널리 알려져 있고 의심할 여지가 없는 방식으로 그렇게 했다.[77][78] "Whether this formula is rightly attributed to Pythagoras personally, ... "이 공식이 개인적으로 피타고라스에게 귀속된 것이 맞든 간에... one can safely assume that it belongs to the very oldest period of Pythagorean mathematics."[36][attribution needed] 피타고라스 수학의 가장 오래된 시기에 속한다고 해도 무방하다.[36][attribution needed] Around 300 BC, in Euclid's Elements, the oldest extant axiomatic proof of the theorem is presented.[79] 기원전 300년경 유클리드 원소에서는 그 정리에 대한 현존하는 현존하는 가장 오래된 자명적인 증거가 제시된다.[79]

Geometric proof of the Pythagorean theorem from the Zhoubi Suanjing.주비 수안징의 피타고라스 정리에 대한 기하학적 증거.

With contents known much earlier, but in surviving texts dating from roughly the 1st century BC, the Chinese text Zhoubi Suanjing (周髀算经), (The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven) gives a reasoning for the Pythagorean theorem for the (3, 4, 5) triangle—in China it is called the "Gougu theorem" (勾股定理).[80][81]With contents known much earlier, but in surviving texts dating from roughly the 1st century BC, the Chinese text Zhoubi Suanjing (周髀算经), (The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven) gives a reasoning for the Pythagorean theorem for the (3, 4, 5) triangle—in China it is called the "Gougu theorem" (勾股定理).[80][81] During the Han Dynasty (202 BC to 220 AD), Pythagorean triples appear in The Nine Chapters on the Mathematical Art,[82] together with a mention of right triangles.[83] 한나라 (기원전 202년 ~ 서기 220년) 동안 피타고라스 삼쌍은 오른쪽 삼각형에 대한 언급과 [82]함께 <수학적 예술에 관한 9장>에 등장한다.[83] Some believe the theorem arose first in China,[84] where it is alternatively known as the "Shang Gao theorem" (商高定理),[85] named after the Duke of Zhou's astronomer and mathematician, whose reasoning composed most of what was in the Zhoubi Suanjing.[86] 어떤 사람들은 이 정리가 중국에서 먼저 일어났다고 믿고 있는데,[84] 이 정리는 주우비의 천문학자 겸 수학자의 이름을 딴 "상고 정리"(上高正)로 대체적으로 알려져 있다.[85] 그의 추리는 주우비 수안징에 있던 것의 대부분을 구성했다.[86]

Notes메모들

^ Jump up to: a b^ 위로 이동: .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit} Judith D. Sally; Paul Sally (2007). "Chapter 3: Pythagorean triples". Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society Bookstore. p. 63. ISBN 978-0-8218-4403-8.
^^ Benson, Donald.벤슨, 도널드 The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies, pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999). 증거의 순간 : 수학적인 깨달음, 페이지 172–173 (Oxford University Press, 1999)
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^^ Huffman, Carl. "Pythagoras". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2018 Edition)., "It should now be clear that decisions about sources are crucial in addressing the question of whether Pythagoras was a mathematician and scientist.Huffman, Carl. "Pythagoras". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2018 Edition)."피타고라스가 수학자인지 과학자인지에 대한 문제를 해결하는데 있어서 출처에 대한 결정이 결정적이라는 것이 이제 분명해져야 한다. The view of Pythagoras's cosmos sketched in the first five paragraphs of this section, according to which he was neither a mathematician nor a scientist, remains the consensus." 수학자도, 과학자도 아닌 피타고라스가 이 섹션의 처음 5개 단락에서 스케치한 코스모스에 대한 견해는 공감대로 남아 있다.
^^ (Loomis 1968)(Loomis 1968)
^^ (Maor 2007, p. 39)(Maor 2007, 페이지 39)
^ Jump up to: a b^ 위로 이동: Stephen W. Hawking (2005). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Philadelphia: Running Press Book Publishers. p. 12. ISBN 0-7624-1922-9. This proof first appeared after a computer program was set to check Euclidean proofs. Stephen W. Hawking (2005). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Philadelphia: Running Press Book Publishers. p. 12. ISBN 0-7624-1922-9. 이 증거는 유클리드 증거를 검사하기 위한 컴퓨터 프로그램이 설정된 후에 처음 나타났다.
^^ See for example Pythagorean theorem by shear mapping Archived 2016-10-14 at the Wayback Machine, Saint Louis University website Java appletSaint Louis University 웹사이트 Java 애플릿의 Wayback Machine에 보관된 2016-10-14 전단 매핑에 의한 피타고라스 정리 예를 참조하십시오.
^^ Jan Gullberg (1997). Mathematics: from the birth of numbers. W. W. Norton & Company. p. 435. ISBN 0-393-04002-X.
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^^ The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see (Maor 2007, p. 25)비율 이론은 피타고라스 이후 겨우 2세기 후에 개발되었기 때문에 피타고라스에 의한 증거는 아마도 일반적인 것이 아니었다; 참조 (Maor 2007, 페이지 25)
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Stillwell, John (1989). Mathematics and Its History. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96981-0. Also ISBN 3-540-96981-0.Stillwell, John (1989). Mathematics and Its History. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96981-0. 또한 ISBN 3-540-96981-0.
Swetz, Frank; Kao, T. I. (1977). Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China. Pennsylvania State University Press. ISBN 0-271-01238-2.
van der Waerden, Bartel Leendert (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Springer. ISBN 3-540-12159-5. Pythagorean triples Babylonian scribes van der Waerden.

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Pythagorean theorem at ProofWiki프루프위키의 피타고라스 정리

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Euclid (1997) [c. 300 BC]. David E. Joyce (ed.). Elements. Retrieved 2006-08-30. In HTML with Java-based interactive figures.Euclid (1997) [c. 300 BC]. David E. Joyce (ed.). Elements. Retrieved 2006-08-30. Java 기반 대화형 그림이 있는 HTML.
"Pythagorean theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
History topic:기록 항목: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics 바빌로니아 수학에서의 피타고라스의 정리
Interactive links: 대화형 링크:
- Interactive proof in Java of the Pythagorean theorem피타고라스 정리 자바에서의 상호작용 증명
- Another interactive proof in Java of the Pythagorean theorem피타고라스 정리의 자바에 있는 또 다른 쌍방향 증거
- Pythagorean theorem with interactive animation대화형 애니메이션을 이용한 피타고라스 정리
- Animated, non-algebraic, and user-paced Pythagorean theorem애니메이션, 비알제브라, 사용자 페이싱 피타고라스 정리
Pythagorean theorem water demo on YouTube피타고라스의 유튜브 정리 물 데모
Pythagorean theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)피타고라스 정리(잘린 것부터 70개 이상의 증명)
Weisstein, Eric W. "Pythagorean theorem". MathWorld.

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Euclid's proof유클리드 증거

Proofs by dissection and rearrangement해부 및 재배치에 의한 증명

Einstein's proof by dissection without rearrangement재배열 없이 해부하여 아인슈타인의 증명

Algebraic proofs대수적 교정쇄

Proof using differentials디퍼렌셜을 사용한 증거

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Consequences and uses of the theorem정리의 결과 및 사용

Pythagorean triples피타고라스 삼배

Reciprocal Pythagorean theorem상호피타고라스 정리

Incommensurable lengths헤아릴 수 없는 길이

Complex numbers콤플렉스

Euclidean distance유클리드 거리

Euclidean distance in other coordinate systems다른 좌표계의 유클리드 거리

Pythagorean trigonometric identity피타고라스 삼각측량 정체성

Relation to the cross product교차 제품과의 관계

Generalizations일반화

Similar figures on the three sides삼면의 유사수치

Law of cosines코사인 법칙

Arbitrary triangle임의 삼각형

General triangles using parallelograms병렬형 문자를 사용하는 일반 삼각형 삼각형

Solid geometry솔리드 기하학

Inner product spaces내부 제품 공간

Sets of m-dimensional objects in n-dimensional spacen차원 공간의 m차원 객체 세트

Non-Euclidean geometry비유클리드 기하학

Differential geometry미분 기하학

History역사

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Notes메모들

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