셈 측도 - 영차원

1.2.3.4.차원의 이해

 

분류

• 이산수학
• 크기
• 도량형
• 나무위키 수학 프로젝트

차원 Dimension
구분	0차원	1차원	2차원	3차원	n\boldsymbol{n}n차원
위상	점	선	면	입체	초입체
측도	셈 측도	길이	넓이	부피	초부피
유클리드 공간		민코프스키 시공간		측도론

 

1. 개요

counting measure

000차원에서 정의되는 측도. 도량형학에서 셈 측도는 무차원(無次元)이며 차원 기호로는 1\sf 11[1]로 나타낸다. 무차원의 물리량이 완벽하게 셈 측도에 대응되는 것은 아니므로 주의.[2]

2. 상세

'개수'로 대표되는 측도로, 말 그대로 '셈'을 통해서 구할 수 있는 양을 뜻한다. 길이나 길이로부터 유도되는 측도는 연속임에 비해, 이 녀석은 이산적이다.[3] 각, 입체각 등은 무차원(無次元; dimensionless)이지 0\bf00차원이 아니며 측도론으로 논할 수 있는 개념이 아님[4]에 주의하자.

위의 개수 이외에도 한자문화권에서 마리, 필, 명, 장 등의 단위가 많이 쓰이며, 서양에서는 딱히 특별한 단위를 붙이지 않고[5][6] 그냥 수를 붙이는 경향이 있다.

몰이라고 불리는 특수한 셈 측도가 있는데, 이는 아보가드로 수를 단위로 하는 셈 측도이다. 단, 도량형학에서는 아보가드로 수의 규모가 워낙 크기 때문에[7] 무차원량이 아닌 차원 N\sf NN을 갖는 연속량으로 간주한다. 전술한 것처럼 무차원의 물리량이 셈 측도에 완벽하게 대응되지 않는다는 것을 보여주는 전형적인 예로 볼 수 있다.

측도론에서는 유한집합의 크기로 정의한다.[8]

참고로 셈 측도가 취할 수 있는 값은 자연수밖에 없으므로 1.5나 루트2는 셈 측도의 값으로 취할 수 없다. 비교나 평균 등의 의미로는 -2개, 0.5개 등으로 자연수가 아닌 수에 셈 측도의 단위를 쓰는 경우가 있다.
셈 측도는 흔히 말하는 이산량이다

3. 예시

• 개(수) - 기본 셈 측도. 물건을 세는 단위. 꽤 자주 '갯수'로 잘못 쓰는 경우가 많다.
• 마리 - 동물을 세는 단위.
• 필(匹) - 말이나 소를 세는 단위로써, '마리'보다는 격식있는 표현. 일반적으로는 위의 마리를 쓰는 경우가 많다.
• 필(疋) - 일정한 길이로 말아둔 피륙 등을 세는 단위. 비단 한 필 등의 표현에서 쓰인다.
• 필(筆) - 구획된 땅을 세는 단위. 넓이와는 관련없이 지번을 부여받아 지적공부에 등록 되는 단위이다.
• 건(件) - 사건의 수를 세는 단위.
• 두 - 짐승을 세는 단위.
• 명, 분 - 사람을 세는 단위.[9]
• 구 - 시체를 세는 단위.
• 권 - 책을 세는 단위.
• 벌 - 옷, 안경 등을 세는 단위.
• 장 - 물건 중 얇고 넓은 것을 세는 단위. 달리 장수라고도 한다.
• 정 - 총, 노, 먹, 호미, 삽, 양초 따위를 세는 단위.
• 자루 - 물건 중 길쭉한 것을 세는 단위.
• 그루 - 목본류 식물을 세는 단위.
• 포기 - 초본류 식물을 세는 단위.
• 점 - 그림, 고기 조각 등을 세는 단위.
• 모 - 두부를 직육면체꼴로 잘라 놓은 것을 세는 단위.
• 대 - 탈 것, 기계장치, 악기 등을 세는 단위.
• 잔, 컵 - 음료를 마시기 위한 그릇에 담긴 음료, 술 등을 세는 단위.
• 채 - 건물을 세는 단위.
• 척 - 선박 등을 세는 단위.
• 겹 - 다층 구조물에서 각각의 층상을 세는 단위.
• 톨 - 곡물(주로 쌀)의 낟알을 세는 단위.
• 통(桶) - 통에 담긴 물건의 분량을 세는 단위.
• 송이 - 열매, 꽃, 눈이 뭉친 덩어리 등을 세는 단위.
• 칸 - 닫힌 공간을 세는 단위.
• 번 - 횟수를 세는 단위.
• 가지 - 선택지를 세는 단위.
• 통(通) - 편지, 전화 등을 보낸 횟수를 세는 단위.
• 횟수(회) - 차례를 세는 단위. 사이시옷이 붙는 6개의 한자어[10] 중 하나이다.
• bit - 0 또는 1이 들어가는 정보를 나타내는 자리를 세는 단위.
• mol - 분자의 개수를 세는 단위. 도량형학에서는 차원이 N\sf NN인 연속량으로 간주한다.

언어학에서는 이런 것들을 수분류사(數分類詞)로 부른다. 셈 측도에 후행하는 명사의 특성을 불어넣는 것으로 보는 것.

4. 관련 문서

• 도량형
• 차원
• 측도

 

 

[1] 111차원이라는 뜻이 아니고 곱셈·나눗셈의 항등원이라는 의미이다. 도량형학에서는 숫자가 아닌 고유한 차원 기호를 이용해서 나타내며, 이를테면 부피는 차원이 L3{\sf L}^3L3이고, 가속도는 LT−2{\sf LT}^{-2}LT−2의 차원을 갖는다. 이는 숫자로 나타낼 수 있는 개념이 아니지만 정의상 차원이 약분되어 없어지는 물리량(평면각, 입체각 등)이 존재하기 때문에 이들을 곱셈·나눗셈의 항등원인 1\sf11로 나타내는 것이다.[2] 대표적으로 평면각과 입체각은 차원 분석을 해보면 단위(°\degree°, rad\rm radrad, deg⁡2\deg^2deg2, sr\rm srsr 등)에 관계 없이 무차원 물리량의 성질을 나타내지만 셈 측도는 아니다. 셈 측도가 되기 위해서는 가산 집합(정확히는 시그마 대수)이라는 전제가 필요한데 두 물리량은 그러하지 못하기 때문이다. 평면각과 입체각 외에도 차원이 없는 수많은 물리량(반발계수, 레이놀즈수, 양력계수 등등)이 있지만 대부분 이들은 셈 측도가 될 수 없다. 애초에 측도론과 도량형학은 맥락 자체가 다르고 그 예시의 일부에서 교집합이 존재할 뿐이다.[3] '반 개' 등의 표현이 있기는 하지만, 이는 원래 개수를 세는 최소 단위의 절반이라는 뜻이 내포되어 있으므로 명백한 이산 측도이다.[4] 도량형학에서의 '차원'은 수학이나 물리학에서 말하는 nnn차원의 개념과 매우 이질적이며, '단위의 유무'에 관한 개념에 가깝다.[5] 대신 1개일 경우 부정관사를 붙인다.[6] 후술할 몰을 제외하면 SI 단위에서 셈 측도에 대응하는 단위가 없는 이유이기도 하다.[7] 6.022 140 76×10236.022\ 140\ 76 \times 10^{23}6.022 140 76×1023(약 6022해)[8] 무한집합의 크기는 초한기수를 사용하며, 셈 측도가 아니다.[9] 그냥 '사람'을 단위삼아 쓰기도 한다.[10] 곳간(庫間), 셋방(貰房), 숫자(數字), 찻간(車間), 툇간(退間), 횟수(回數)