명제(命題)는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장을 말한다. 즉, 어떤 말을 딱 본 순간 '참' 혹은 '거짓'을 대번에 알 수 있는 말을 말한다. 명제는 거의 대부분의 인간들이 즉각, 맞다 틀리다 말할 수 있는 조건이지만, 현대 사회에서 거의 진리로 인정받고 있는 특정 가치관이 명제의 판별에 혼동을 주는 경우가 무시할 수 없이 많다는 것이다.
예컨대 "베토벤은 음악의 천재이다.", "노인들은 공경을 해야 할 대상이다". 들이 거의 진리로 인정받는다 하더라도 이 문장들은 결코 명제가 아니다.
베토벤이 음악의 천재라고 세계적으로 인정받기는 하나, '천재'의 기준이 명확하지 않으므로 아무리 음악적 재능이 특출나다고 할지라도 참인지 거짓인지 결코 명확하게 알 수 없다.
문장 '노인은 공경의 대상이다.'는 사회적으로 모든 사람들에게 인정받는 도덕판단이기는 하나, 이 문장을 참이라고 논리적으로 증명할 수 있는 근거는 전혀 없다. 반대로 이 문장이 거짓이라고 논리적으로 증명할 수 있는 근거도 전혀 없다. 단순히 인간의 양심적 사고에서 도출된 도덕판단이기 때문이다. 즉, 이 문장은 의무론적 관점에서 볼 때, 매우 윤리적인 문장일 지라도, 지금 따지고자 하는 것은 이 문장이 명제인가? 라는 것이다. 즉, 이 문장은 참, 거짓을 따질 수 있는 명제인지를 보는 것이다. 궁극적으로, 이 문장은 명제가 아니다.
여기서 알 수 있듯, 어떤 식/문장이 명제인지 아닌지를 정확하게 따지려면, 그 문장의 참/거짓을 결정짓는 기준이 명확한지, 명확하지 않고 애매한지부터 보아야 한다.
목차
명제의 재료, 조건
조건은 비록 그 자체로 명제라고 할 수는 없지만, x와 같이 특정한 변수의 값에 따라서 참/거짓을 명확하게 알 수 있는 식/문장이다.
예를 들어,
■x는 자연수이다. ■x> 3 또는 x <-9 이다. ■ x는 7보다 크고 50보다 작은 200의 약수가 아닌 7의 배수이다.
와 같다.
명제는 이러한 조건으로 이루어져 있다. 즉, 두 조건 p, q에 대하여, 'p이면 q이다.'의 형식이다.
명제 성립의 선험 조건
예를 들면, "소크라테스는 인간이다."란 명제가 있다고 가정해보자. 이 명제는 참이라고 결론을 내릴 수 있다. 하지만, "소크라테스가 인간의 탈을 쓴 신"이라는 가능성도 존재한다. 만약 이게 사실이라면, "소크라테스는 인간이다."란 명제는 거짓이 된다. 그런데도 불구하고, "소크라테스는 인간이다."란 조건은 명제로 인정될 수 있다. 왜냐하면, "소크라테스가 인간의 탈을 쓴 신이다."란 명제는 증명이 되지 않은 상태이기 때문이다. 어떠한 명제가 참이라는 것이 증명이 안되었다고 해서 그것을 '거짓'이라고 판단할 수는 없지만, 증명되지 않은 명제는 다른 명제의 성립 선험 조건에서 변수로 작용될 수 없다. 따라서 자동적으로 배제된다. 즉, "소크라테스는 인간이다."는 명제로 작용이 될 수 있고, 참이 된다.
정의
논리학과 철학에서 명제란 (a)의미있는 평서문의 "내용"이나 "의미", 또는 (b) 의미있는 평서문을 구성하는 기호, 표시, 소리의 패턴을 말한다. 명제의 의미는 참이거나 거짓인 특성이나 속성을 포함한다. 이 때 명제의 의미가 반드시 참일 필요는 없다. 명제의 예로는 다음과 같은 것이 있다.
- “에펠탑은 프랑스에 있다.“(참)
- “명제는 참/거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장 혹은 식이다.“(참)
- “소크라테스는 사람이다.”(철학자 소크라테스는 인간, 참)
- “닭은 동물이다.“(동물이란 대분류 안에 닭이 포함, 참)
- “부정은 긍정이다.“(거짓)
- “2의 배수는 4의 배수이다.“(4의 배수엔 2가 없음,거짓)
- “6 × 2 = 15이다.”(6 × 2 = 12, 거짓)
- “모든 직사각형은 정사각형이다.“(거짓)
- “파리는 일본의 수도이다.”(프랑스의 수도, 거짓)
- “사과는 포도이다.”(사과는 사과, 거짓)
또는 선험 조건이 제시된 명제가 있을 수 있다.
- “a > 1, b > 1 → a + b > 2“(참)
- “a > 1, b < -1 → b + 1 = a“(거짓)
- “k = 양의 정수, x ≠ 0 → -kx = x“(거짓)
명제가 아닌 문장의 예로는 다음과 같은 것이 있다.
- “소크라테스는 누구인가?”
- “저곳으로 가라.”
- “재즈 음악은 아름답다.”
- “x + 3 = 7이다.”
첫 두 개의 문장은 참·거짓이 없으므로 명제가 아니다. 세 번째 문장은 사람에 따라 참인가 거짓인가가 달라질 수 있기 때문에 명제가 아니다. 네 번째 문장은 x의 값에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있으므로 명제가 아니다.
단순명제와 합성명제
더 이상 간단한 명제로 분해할 수 없는 긍정형의 명제를 단순명제(primary statement)라고 한다. 예를 들어 “소크라테스는 사람이다.” 등이 단순명제가 된다. 또 하나 이상의 명제와 논리 연산 그리고 괄호로 이루어진 명제를 합성명제(compound statement)라고 한다. 예를 들어 “조지 워싱턴은 미국인이고 베를린은 독일의 수도이다.” 등이 합성명제가 된다. 복합명제, 겹명제라고도 한다.
명제의 부정
예를 들어 '소크라테스는 사람이다'라는 명제가 있다고 가정해보자. 명제를
라 할때에, (명제는 주로 p,q,r로 나타낸다) 명제 '소크라테스는 사람이 아니다'를 명제
의 부정이라 하고 기호로는 ~p 로 나타내며, p가 아니다 또는 not p라고 읽는다. 명제 p가 참이면 명제의 부정 ~p는 반드시 거짓이다. 또한 ~p의 부정은 p이다. 기호로 나타내자면
~(~p)=p 인 것이다.
조건의 부정
두 명제 또는 조건 p,q에 대하여
-
- (1)~(~p) = p
- (2)~(p 또는q) = ~p 그리고 ~q
- (3)~(p 그리고 q) = ~p 또는 ~q
이에 대한 관계의 해석은 진부분 집합을 이용하여 증명한다.
즉 명제의 부정은 여집합과 대응되는 관계이므로 여집합의 성질을 이용하여 명제의 부정에 대한 성질이 위와 같이 성립함을 알 수 있다.
'모든'이나 '어떤'이 들어있는 명제
문장 'x는 5의 약수이다.'는 조건이지만 다음 각 문장들은 참과 거짓이 판별가능하다.
- '모든 자연수 x는 7의 약수이다.' - 거짓인 명제
- '어떤 자연수 x는 7의 약수이다.' - 참인 명제
'모든'이나 '어떤'이 들어있는 명제의 부정
~(모든 x에 대하여 p(x)) --> 어떤 x에 대하여 ~p(x)
~(어떤 x에 대하여 p(x)) --> 모든 x에 대하여 ~p(x)
같이 보기
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